Werkzeuge/Lösungsbausteine der Mathematik/Eigenwertprobleme

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Eigenwertprobleme im Einsatz:
  • Hauptspannungen sind Eigenwerte des Spannungstensors. Hauptspannungsrichtungen sind Eigenvektoren des Spannungstensonrs.
  • Eigenfrequenzen sind Eigenwerte der Bewegungsgleichung von schwingungsfähigen Systemen. Und die Eigenvektoren sind die Modalformen der Schwingung.
Eigenwerte und ihre Eigenvektoren spielen also eine große Rolle in technischen Anwendungen.

Das klassische Eigenwertproblem

Allgemein ist ein Eigenwertproblem beschreiben durch die Gleichung

A__q_=λq_

mit der n × n-Matrix A.

Gesucht sind also Lösungen q, die ein Vielfaches λ der Abbildung Aq sind.

Die Umformung der Gleichung auf

(A__λ1__):=D__(λ)q_=0_

zeigt, dass wir ein homogene Gleichungssystem lösen müssen. Das hat nur dann nicht-triviale (von Null verschiedene) Lösungen, wenn D einen Rangabfall von mindestes 1 hat: die Gleichungen linear abhängig sind.

Dafür müssen wir fordern, dass

det(D(λ))=!0.

Der Wert dieser Determinante heißt "charakteristisches Polynom".Die Nullstellen λi des charakteristischen Polynoms heißen Eigenwerte.

Für jeden Wert λi können wir das Gleichungssystem

D__(λi)q_i=0_

lösen und so die Eigenvektoren qi bestimmen. Da das Gleichungssystem durch det(D)=0 mindestens eine linear abhängige Gleichung enthält, behalten wir eine "Freiheit" übrig:

Wenn qi ein Eigenvektor des Eigenwertproblems ist, so ist auch c∙qi eine Lösung.

Orthogonalität der Eigenvektoren

Zum Wesen der Eigenvektoren in vielen technischen Systemen gehört es, dass die Eigenverktoren qi untereinander orthogonal sind (also (qjT∙qi)=0), wenn die Matrix A symmetrisch ist, also A = AT. So stehen die Hauptspannungsrichtungen, die zu den einzelnen Hauptspannungen gehören - senkrecht zueinander. Das kennen Sie bereits vom "Mohr'schen Spannungskreis".

Das das so ist, kann man zeigen, indem wir in der Formulierung des Eigenwertproblems für λi die Gleichung mit qjT multiplizieren, also

q_jTA__q_i=λiq_jTq_iq_iTA__q_j=λjq_iTq_j

Wir subtrahieren die beiden Gleichungen voneinander und erhalten

q_jTA__q_iq_iTA__q_j=0q_jTλiq_iq_iTλjq_j=0(λiλj)q_jTq_i=0.

Die letzte Zeile der Gleichung können wir nun so interpretieren:

Für λiλj ist das Skalarprodukt der beiden Eigenvektoren (qjT∙qi)=0 - sie sind orthogonal zu einander.

Das generalisierte Eigenwertproblem

Bei einem generalisierten Eigenwertproblem ist

K__q_=λM__q_

mit den quadratischen n×n Matrizen K und M. In technischen Systemen sind diese beiden Matrizen außerdem meist symmetrisch - hier gilt also:

K__=K__T und M__=M__T.

So steht bei Modalanalysen von schwingungsfähigen Systemen

  • das K für die Steifigkeitsmatrix,
  • das M für die Massenmatrix und
  • λ für das Quadrat der Eigenkreisfrequenz ω02.

Analog zum Vorgehen oben schreiben wir

(K__λM__):=D__(λ)q_=0_

und fordern, dass

det(D(λ))=!0.

Für jeden Eigenwert λi = ω0,i2 können wir das Gleichungssystem

D__(λi)q_i=0_

lösen und so die Eigenwerte qi - die Modalformen - bestimmen. Da das Gleichungssystem durch det(D)=0 mindestens eine linear abhängige Gleichung enthält, behalten wir auch hier eine "Freiheit" übrig:

Wenn qi ein Eigenvektor des Eigenwertproblems ist, so ist auch c∙qi eine Lösung.

Orthogonalität der Eigenvektoren

Auch für das generalisierte Eigenwertproblem finden wir Orthogonalitätsbeziehungen. Analog zu unserem Vorgehen oben schreiben wir

q_jTK__q_i=λiq_jTM__q_iq_iTK__q_j=λjq_iTM__q_j

und erhalten aus K = KT die Beziehung

(λiλj)q_jTM__q_i=0.

Die Eigenvektoren qjT, qi zu verschiedenen Eigenwerten, also λiλj , sind im Sinne des Skalarprodukts

q_jTM__q_i

orthogonal zueinander.

Die Modal-Matrix

In der Schwingungslehre fasst man die n Spaltenmatrizen der Eigenvektoren qi zur Modalmatrix zusammen:

Q__:=(q_1,q_2,,q_n)=(q11q1nqn1qnn)

Analog verfährt ,am mit den Eigenwerten, die man zur Diagonalmatrix Λ zusammenfasst:

Λ__:=diag(λi)=(λ100λn)

Das Eigenwertproblem können wir jetzt umschreiben zu

Q__TK__Q__:=K~__=Q__TM__Q__:=M~__Λ__

mit der modalen Massenmatrix und modalen Steifigkeitsmatrix

M~__;K~__.

Diese beiden Matrizen sind Diagonalmatrizen - aufgrund der Orthogonalität der Eigenvektoren (Spaltenmatrizen der ~) - ebenfalls Diagonalmatrizen. Also ist

M~__:=diag(m~i)=(m~100m~n) und K~__:=diag(k~i)=(k~100k~n).

Jeden einzelnen der Eigenvektoren qi dürfen wir mit einer Konstanten multiplizieren, die modalen Massen und Steifigkeiten sind deshalb nicht für das Ausgangssystem spezifisch. Aus dem Eigenwertproblem folgt jedoch nun

k~iq_i=λim~iq_i sowie k~i=λim~i.

Durch die Modalkoordinaten können wir die Bewegungsgleichungen also entkoppeln.

Für ein schwingungsfähiges System folgt für die Eigenkreisfrequenz nun

ω0,i=±λi=±k~im~i.