Werkzeuge/Beschreibung physikalischer Systeme/Dimensionen und Einheiten

Schreibweise

Die Dimension einer physikalischen Größe erfasst man durch

$\text{ dim}(.)$

So ist

$\text{ dim}(F)=\text{Kraft}$

oder, abgekürzt

$\begin{array}{lcl}\text{ dim}(F)& =& K(\text{Kraft})\\ \text{ dim}(\ell )& =& L(\text{Länge})\\ \text{ dim}(t)& =& T(\text{Zeit})\\ \text{ dim}(m)& =& M(\text{Masse})\end{array}$

Basis-Einheiten nach dem SI-System sind

1. Meter (m),
2. Kilogramm (kg),
3. Sekunde (s),
4. Ampere (A),
5. Kelvin (K),
6. Mol (mol) sowie
7. Candela (cd)

Von diesen sieben brauchen wir hier nur die ersten drei.

Weitere Einheiten lassen sich auf diese drei zurückführen und umrechnen:

$N=\frac{kgm}{s^2}$,

$\text{ rad }=1\frac{m}{m}(\text{ radiant })$

oder

$\text{bar}=10^5\frac{N}{m^2}$.

Im Computer können wir keine Einheiten brauchen. Wir könnten alle Parameter in den SI-Basiseinheiten ausdrücken - dann müssen sich die Einheiten herauskürzen. Das geht bei realen Problemen häufig schief, weil die dann in den Systemmatrizen stehenden numerische Werte oft um mehrere Größenordnungen unterschiedliche Werte haben.

Beispiel:

Die numerischen Werte in der Randbedingung des Euler-Bernoulli-Balkens

• für das Moment sind von der Größenordnung 10^6;
• für die Verschiebung/Verdrehung sind von der Größenordnung 1.

Dimensionslos-Machen von Bewegungsgleichungen

Wir suchen nach Koordinaten der Bewegung, die keine Einheit mehr haben und deren Werte von der Größenordnung "1" sind. Das klappt nicht immer, aber oft.

Vorgehensschema:

1. alle dimensionsbehafteten Parameter und Koordinaten durch dimensionslose Größen und Bezugsgrößen ersetzen;
2. die Bezugsgrößen aus den Bewegungsgleichungen herauskürzen → die Bewegungsgleichung sieht wieder wie ursprünglich aus;
3. Bezugsgrößen "passend" wählen;
4. die numerischen Werte aller dimensionslosen Parameter berechnen und in die Bewegungsgleichungen einsetzen;
5. Bewegungsgleichungen lösen.

Beispiel:

Aufgabenstellung

Wir lassen eine Kugel im Erdschwerefeld aus der Höhe H und ohne Anfangsgeschwindigkeit fallen.

Lageplan

Die Bewegungsgleichung des Systems mit der nichtlinearen Kontaktkraft K(h) in h(t) lautet:

$-m\ddot{h}-mg+K(h)=0$,

Dimensionslose Koordinate

Eine dimensionslose Koordinate bekommen wir, wenn wir h durch eine passende Bezugslänge l_Bez teilen, also

$\tilde{h}=\frac{h(t)}{{\ell }_{Bez}}\text{ bzw }h=\tilde{h}\cdot {\ell }_{Bez}$,

Die zweite Ableitung nach der Zeit bringt uns allerdings wieder eine Dimension - hier die Zeit - hinein. Mit der neuen, dimensionslosen Zeit τ

$\tau =\frac{t}{t_{Bez}}$,

und den dimensionslosen Parametern

$\tilde{m}=\frac{m}{m_{Bez}},\tilde{K}=\frac{K}{F_{Bez}}\text{ und }\tilde{g}=\frac{g}{a_{Bez}}$,

lautet die neue Bewegungsgleichung nun

$-\tilde{m}\frac{m_{Bez}{\ell }_{Bez}}{t_{Bez}^2}\frac{d^2}{d{\tau }^2}\tilde{h}-m_{Bez}{a}_{Bez}\tilde{m}\tilde{g}+F_{Bez}\tilde{K}=0$,

Das sieht sehr kompliziert aus - löst sich aber gleich in Wohlgefallen auf. Zunächst dürfen wir nur drei Beszugsgrößen unabhängig voneinander wählen, also könnten wir

$a_{Bez}=\frac{{\ell }_{Bez}}{t_{Bez}^2}\text{ und }{F}_{Bez}=\frac{m_{Bez}{\ell }_{Bez}}{t_{Bez}^2}$,

ersetzen und erhalten - nach der Division durch die Bezugskraft

$-\tilde{m}{\tilde{h}}^{″}-\tilde{m}\tilde{g}+\tilde{K}=0\text{ mit }(.{)}^{\prime }:=\frac{d}{d\tau }(.)$,

Das ist nun wiederum die Form der Ausgangs-Bewegungsgleichung - nur, dass hier jetzt andere Zahlenwerte stehen.

Wahl der Bezugsgrößen

Es ist praktisch

${\ell }_{Bez}=H\text{ , }{F}_{Bez}=mg\text{ und }{t}_{Bez}=\sqrt{\frac{2H}{g}}(\text{ die Zeit bis zum ersten Aufprall})$,

zu wählen - denn dann wird der Wert von der dimensionslosen Koordinate h(t)/H zwischen 0 und 1 sein, die Dauer einer Periode des Vorgangs wird fast 2 sein (wenn die Stoßdauer sehr kurz ist).

Mit den Systemparametern

$H=1\text{m},mg=1\text{N}$,

ist z.B. der Zahlenwert für die dimensionslose Erdbeschleunigung nun

$\begin{array}{cl}\tilde{g}& =9.81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}/\frac{{\ell }_{Bez}}{t_{Bez}^2}\\ & =1.962\end{array}$,

Bewegungsgleichungen lösen

Die Bewegungsgleichung können wir nun als ODE 1ster Ordnung schreiben als

$\frac{d}{d\tau }\left(\begin{array}{c}\tilde{h}\\ \tilde{v}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\tilde{v}\\ -\tilde{g}+\tilde{k}(\tilde{h})\end{array}\right)$,

und im Zeitbereich mit den Anfangsbedingungen

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{h}}_0\\ {\tilde{v}}_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$,

lösen. Im Zeitbereich finden wir die Lösung

Zeitverlauf der Ball-Höhe.

und die entspricht - mit der Anfangs-Höhe "1" und der Periodendauer von (fast) "2" - genau unseren Vorstellungen!