Sources/Lexikon/Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehung (Strain-Displacement-Relation)

Der Zusammenhang zwischen Verschiebungen u und Verzerrungen ε ist eine Differentialbeziehung: die Verzerrungen (Dehnungen) ergeben sich aus Ableitungen der Verschiebungen.

In der Nomenklatur der Einstein'schen Summations-Konvention wählt man ein Koordinatensystem mit den Achen x₁, x₂, x₃ und den Verschiebungen in diese Richtungen u= [u₁, u₂, u₃].

Dann sind die Verschiebungen

$u_1(x_1,x_2,x_3)$

Funktionen der unabhängigen Koordinaten.

Die Dehnungen ergeben sich aus

$\begin{array}{rl}{\epsilon }_{ij}& =\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})\\ \underset{\_}{\underset{\_}{\epsilon }}& =\left(\begin{array}{ccc}{\epsilon }_{11}& {\epsilon }_{12}& {\epsilon }_{13}\\ {\epsilon }_{21}& {\epsilon }_{22}& {\epsilon }_{23}\\ {\epsilon }_{31}& {\epsilon }_{32}& {\epsilon }_{33}\\ \end{array}\right)\end{array}$

zu

$\underset{\_}{\underset{\_}{\epsilon }}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial u_1}{\partial x_1}& \frac{1}{2}(\frac{\partial u_1}{\partial x_2}+\frac{\partial u_2}{\partial x_1})& \frac{1}{2}(\frac{\partial u_1}{\partial x_3}+\frac{\partial u_3}{\partial x_1})\\ \frac{1}{2}(\frac{\partial u_2}{\partial x_1}+\frac{\partial u_1}{\partial x_2})& \frac{\partial u_2}{\partial x_2}& \frac{1}{2}(\frac{\partial u_2}{\partial x_3}+\frac{\partial u_3}{\partial x_2})\\ \frac{1}{2}(\frac{\partial u_3}{\partial x_1}+\frac{\partial u_1}{\partial x_3})& \frac{1}{2}(\frac{\partial u_3}{\partial x_2}+\frac{\partial u_2}{\partial x_3})& \frac{\partial u_3}{\partial x_3}\\ \end{array}\right)$.

In der gewohnten Nomenklatur mit x, y, z -Achse und den Auslenkungen u(x,y,z), v(x,y,z), w(x,y,z) in diese Richtungen ist

$\underset{\_}{\underset{\_}{\epsilon }}==\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial u}{\partial x}& \frac{1}{2}(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x})& \frac{1}{2}(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x})\\ \frac{1}{2}(\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y})& \frac{\partial v}{\partial y}& \frac{1}{2}(\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y})\\ \frac{1}{2}(\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial z})& \frac{1}{2}(\frac{\partial w}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial z})& \frac{\partial w}{\partial z}\\ \end{array}\right)$.

Die geometrische Interpretation zu den Verzerrungsgrößen finden Sie in hier.