Sources/Lexikon/Quaternionen für Drehungen

Einheits-Quaternionen sind ein probates Werkzeug, um die räumliche Orientierung von Körpern zu beschreiben und räumliche Drehungen durchzuführen.

3D visualization einer Rotation bzgl. der Euler-Axe $\vec{r}$ um den Winkel φ.

Dabei wird die Rotation durch einen Drehwinkel φ um eine Rotationsachse

\vec{r} = r_{x} {\vec{e}}_{x} + r_{y} {\vec{e}}_{y} + r_{z} {\vec{e}}_{z}

beschreiben. Bei Einheits-Quaternionen gilt

\sqrt{r_{x}^{2} + r_{y}^{2} + r_{z}^{2}} = 1

.

Die Rotation wird dann durch das Quadruple

\underline{q} = [\cos φ, r_{x} \cdot \sin φ, r_{y} \cdot \sin φ, r_{z} \cdot \sin φ]

erfasst.

Die Transformationsmatrix können wir dann durch

{\underline{\underline{D}}}_{Q} (\underline{q} (t)) = (\begin{matrix} 1 - 2 ({q_{3} (t)}^{2} + {q_{2} (t)}^{2}) & 2 (q_{1} (t) q_{2} (t) - q_{0} (t) q_{3} (t)) & 2 (q_{1} (t) q_{3} (t) + q_{0} (t) q_{2} (t)) \\ 2 (q_{0} (t) q_{3} (t) + q_{1} (t) q_{2} (t)) & 1 - 2 ({q_{3} (t)}^{2} + {q_{1} (t)}^{2}) & 2 (q_{2} (t) q_{3} (t) - q_{0} (t) q_{1} (t)) \\ 2 (q_{1} (t) q_{3} (t) - q_{0} (t) q_{2} (t)) & 2 (q_{2} (t) q_{3} (t) + q_{0} (t) q_{1} (t)) & 1 - 2 ({q_{2} (t)}^{2} + {q_{1} (t)}^{2}) \end{matrix})

abgebildet. Als unabhängige Koordinaten eignen sich die $\underline{q} (t)$ allerdings nicht: die Bedingung, dass die Euler-Achse ein Einheitsvektor sein muss, lässt sich nur sehr schwer in die Lösung eines Anfangswertproblemes einbauen.

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