Sources/Lexikon/Modalanalyse

Die Eigenfrequenzen und deren Eigenschwingungsformen reichen meist vollständig aus, um das charakteristische Verhalten von schwingungsfähigen, linearen  Systemen zu erfassen. Eine Stimmgabel z.B. schwingt hauptsächlich mit 440 Hz - dem Kammerton "a" - und dient damit als Referenz beim Stimmen von Musikinstrumenten. Musikinstrumente, Getriebe und die Oberfläche von Flugzeug-Triebwerken haben ähnliche Schwingungs-Charakteristika, die maßgeblich Ihre strukturellen Belastungen und Schall-Emission steuern.

Eigenwert und Eigenform

Die Modalanalyse ist ein mathematisches Werkzeug zur Schwingungsanalyse, zur Ermittlung der charakteristischen modalen Parameter

• Eigenfrequenz und
• Eigenschwingungsform.

Ausgangspunkt sind meist N lineare Bewegungsgleichungen 2-ter Ordnung eines technischen Systems der Mechanik. Wir schreiben Sie in Matrix-Form

$\underset{\_}{\underset{\_}{M}}\cdot \underset{\_}{\ddot{Q}}+\underset{\_}{\underset{\_}{B}}\cdot \underset{\_}{\dot{Q}}+\underset{\_}{\underset{\_}{K}}\cdot \underset{\_}{Q}=\underset{\_}{P}(t)$

mit

$\underset{\_}{Q}(t)=\left(\begin{array}{c}{q}_1(t)\\ q_1(t)\\ ⋮\\ q_N(t)\\ \end{array}\right)$.

Die Modalanalyse liefert nun den Anteil der Lösung der homogenen Bewegungsgleichung, also von  

$\underset{\_}{\underset{\_}{M}}\cdot \underset{\_}{\ddot{Q}}+\underset{\_}{\underset{\_}{B}}\cdot \underset{\_}{\dot{Q}}+\underset{\_}{\underset{\_}{K}}\cdot \underset{\_}{Q}=\underset{\_}{0}$

mit dem Ansatz

$\underset{\_}{Q}(t)=\widehat{\underset{\_}{Q}}\cdot e^{\lambda \cdot t}$.

Nach dem Einsetzen und Herauskürzen von $e^{\lambda t}$ aus der Bewegungsgleichung taucht die Zeit t nicht mehr in dem homogenen Gleichungssystem auf:

$\underset{=:\underset{\_}{\underset{\_}{A}}(\lambda )}{\underbrace{({\lambda }^2\underset{\_}{\underset{\_}{M}}+\lambda \underset{\_}{\underset{\_}{B}}+\underset{\_}{\underset{\_}{K}})}}\cdot \underset{\_}{\hat{Q}}=\underset{\_}{0}$.

Aus dem System von Bewegungsdifferentialgleichungen ist das System linearer, gewöhnlicher, homogener Gleichungen

$\underset{\_}{\underset{\_}{A}}\cdot \underset{\_}{\hat{Q}}=\underset{\_}{0}$

geworden. Wir brauchen also nur noch die λ's zu bestimmen, für die das homogene Gleichungssystem eine nicht-triviale (von Null verschiedene) Lösung $\underset{\_}{\hat{Q}}$ hat. Davon gibt es genau N Stück.

✔ Tipp:

Die Matrix A ist für die berechneten Eigenwerte singulär. Das heißt: wir haben nur N-1 unabhängige Gleichungen zur Bestimmung der N Komponenten des Eigenvektors.  Ist also ${\underset{\_}{\hat{Q}}}_k$ ein Eigenvektor, dann ist es auch $C\cdot {\underset{\_}{\hat{Q}}}_k$. Oft nutzt man diese Freiheit, um eine zusätzliche Bedingung einzuführen, nämlich $\left|\left|{\underset{\_}{\hat{Q}}}_k\right|\right|=1$, der Eigenvektor ist dann ein Einheits-Eigenvektor.

Die Kombination aus dem Quadrat des Eigenwerts (→ Eigenfrequenz) und zugeordnetem Eigenvektor (→ Schwingungsform)

$({\lambda }_n^2,{\hat{Q}}_n),n=1,\dots ,N$

heißt Eigenlösung (vgl. Eigenwertanalyse).

Die Gesamtlösung setzen wir aus den Eigenlösungen zusammen mit

$Q(t)=\sum _k{Q}_k(t)$

und

${\underset{\_}{Q}}_k(t)={\widehat{\underset{\_}{Q}}}_k\cdot e^{{\lambda }_k\cdot t}$.

Wenn keine gyroskopischen Terme (wie z.B. in FEC1) auftreten, sind die System-Matrizen symmetrisch, dann gilt

$\underset{\_}{\underset{\_}{M}}={\underset{\_}{\underset{\_}{M}}}^T$, $\underset{\_}{\underset{\_}{B}}={\underset{\_}{\underset{\_}{B}}}^T$, $\underset{\_}{\underset{\_}{K}}={\underset{\_}{\underset{\_}{K}}}^T$.

Diese Symmetrie werden wir ausnutzen!

Eigenschwingungsformen sind orthogonal zueinander

Was das heißt, können wir besonders einfach zeigen, wenn wir zuerst ohne viskose Dämpfung, also mit

$\underset{\_}{\underset{\_}{B}}=\underset{\_}{\underset{\_}{0}}$

arbeiten. Dann nämlich sind die Eigenlösung reell! Die Eigenlösung können wir nun als

$\begin{array}{ll}({\mathrm{\Lambda }}_n,{\hat{Q}}_n),n=1,\dots ,N\text{ mit }& {\mathrm{\Lambda }}_n={\lambda }_n^2,\\ & {\lambda }_n=j\cdot {\omega }_{0,n},\\ & j=\sqrt{-1}\end{array}$

abkürzen. Einsetzten der Eigenlösungen in die homogene Bewegungsgleichung - jeweils einmal für die Lösung n=k und n=l - liefert zwei Gleichungssysteme, die wir mit den Eigenvektoren der jeweils anderen Lösung (rot) durchmultiplizieren.

$\begin{array}{rrr}{\mathrm{\Lambda }}_k{\underset{\_}{\hat{Q}}}_l^T\cdot \underset{\_}{\underset{\_}{M}}\cdot {\underset{\_}{\hat{Q}}}_k& +{\underset{\_}{\hat{Q}}}_l^T\cdot \underset{\_}{\underset{\_}{K}}\cdot {\underset{\_}{\hat{Q}}}_k& =0\\ {\mathrm{\Lambda }}_l{\underset{\_}{\hat{Q}}}_k^T\cdot \underset{\_}{\underset{\_}{M}}\cdot {\underset{\_}{\hat{Q}}}_l& +{\underset{\_}{\hat{Q}}}_k^T\cdot \underset{\_}{\underset{\_}{K}}\cdot {\underset{\_}{\hat{Q}}}_l& =0\end{array}$

Jetzt transponieren wir die zweite Zeile und führen die Transposition jeweils auf die Matrix-Ebene zurück, z.B. so:

${(\underset{\_}{{\hat{Q}}_k^T}\cdot \underset{\_}{\underset{\_}{K}}\cdot {\underset{\_}{\hat{Q}}}_l)}^T={\underset{\_}{\hat{Q}}}_l^T\cdot {\underset{\_}{\underset{\_}{K}}}^T\cdot \underset{\_}{{\hat{Q}}_k}$

Die beiden Zeilen oben subtrahieren wir nun von einander und finden wegen

${\underset{\_}{\underset{\_}{K}}}^T=\underset{\_}{\underset{\_}{K}}$ und ${\underset{\_}{\underset{\_}{M}}}^T=\underset{\_}{\underset{\_}{M}}$

die Aussage

$({\mathrm{\Lambda }}_k-{\mathrm{\Lambda }}_l){\underset{\_}{\hat{Q}}}_l^T\cdot \underset{\_}{\underset{\_}{M}}\cdot {\underset{\_}{\hat{Q}}}_k=0$.

Dann ist also

1. $\dots \text{ für }k=l:({\mathrm{\Lambda }}_k-{\mathrm{\Lambda }}_l)=0\text{ und }$
2. $\dots \text{ für }k\ne l:{\underset{\_}{\hat{Q}}}_l^T\cdot \underset{\_}{\underset{\_}{M}}\cdot {\underset{\_}{\hat{Q}}}_k=0\text{ und damit übrigens auch }{\underset{\_}{\hat{Q}}}_l^T\cdot \underset{\_}{\underset{\_}{K}}\cdot {\underset{\_}{\hat{Q}}}_k=0$

Die Aussage von 2. ist: Die Eigenvektoren zu zwei verschiedenen Eigenwerten sind im Sinne des Skalarprodukts

${\underset{\_}{\hat{Q}}}_l^T\cdot \underset{\_}{\underset{\_}{M}}\cdot {\underset{\_}{\hat{Q}}}_k=0$

orthogonal. Das heißt auch, dass die Eigenvektoren nur dann zueinander selbst orthogonal sind, wenn die Massenmatrix proportional zur Einheitsmatrix ist.

Die Modalmatrix

Die N Eigenlösungen können wir in Matrixform schrieben - und damit die Transformation in Modalkoordinaten vorbereiten.

Dazu definieren wir die Modalmatrix

$\underset{\_}{\underset{\_}{\hat{\mathbf{Q}}}}=({\underset{\_}{\hat{Q}}}_1,{\underset{\_}{\hat{Q}}}_2,\dots ,{\underset{\_}{\hat{Q}}}_N)=\left(\begin{array}{ccc}{\hat{q}}_{11}& \dots & {\hat{q}}_{1N}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {\hat{q}}_{N1}& \dots & {\hat{q}}_{NN}\end{array}\right)$

und die Diagonalmatrix der Eigenwerte

$\underset{\_}{\underset{\_}{\mathrm{\Lambda }}}=\text{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_N)=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & 0\\ & \ddots & \\ 0& & {\lambda }_N\end{array}\right)$.

Diagonalisierung der Systemmatrizen und Transformation auf Modalkoordinaten

Die Eigenlösungen können wir nun so zusammenfassen:

$\underset{\_}{\underset{\_}{\mathrm{\Lambda }}}\cdot {\underset{\_}{\underset{\_}{\hat{\mathbf{Q}}}}}^{\mathbf{𝐓}}\mathbf{\cdot }\underset{\_}{\underset{\_}{\mathbf{M}}}\mathbf{\cdot }\underset{\_}{\underset{\_}{\hat{\mathbf{Q}}}}+{\underset{\_}{\underset{\_}{\hat{\mathbf{Q}}}}}^T\cdot \underset{\_}{\underset{\_}{K}}\cdot \underset{\_}{\underset{\_}{\hat{\mathbf{Q}}}}=\underset{\_}{0}$.

Wegen der Orthogonalität der Eigenvektoren ist

${\underset{\_}{\underset{\_}{\hat{\mathbf{Q}}}}}^T\cdot \underset{\_}{\underset{\_}{M}}\cdot \underset{\_}{\underset{\_}{\hat{\mathbf{Q}}}}=\underset{=\text{diag}({\tilde{m}}_k)}{\underbrace{\left(\begin{array}{ccc}{\tilde{m}}_1& & 0\\ & \ddots & \\ 0& & {\tilde{m}}_N\end{array}\right)}}$ und ${\underset{\_}{\underset{\_}{\hat{\mathbf{Q}}}}}^T\cdot \underset{\_}{\underset{\_}{K}}\cdot \underset{\_}{\underset{\_}{\hat{\mathbf{Q}}}}=\underset{=\text{diag}({\tilde{k}}_k)}{\underbrace{\left(\begin{array}{ccc}{\tilde{k}}_1& & 0\\ & \ddots & \\ 0& & {\tilde{k}}_N\end{array}\right)}}$.

Wir definieren

$\underset{\_}{\underset{\_}{\tilde{M}}}:=\text{diag}({\tilde{m}}_k)\text{ und }\underset{\_}{\underset{\_}{\tilde{K}}}:=\text{diag}({\tilde{k}}_k)$,

Und wir nennen

$\begin{array}{lcl}{\tilde{m}}_k& \dots & \text{modale Masse und}\\ {\tilde{k}}_k& \dots & \text{modale Steifigkeit.}\end{array}$.

Statt einem System gekoppelter, linearer Differentialgleichungen erhalten wir mit

$\underset{\_}{\underset{\_}{\tilde{M}}}\cdot \underset{\_}{\ddot{P}}+\underset{\_}{\underset{\_}{\tilde{K}}}\cdot \underset{\_}{P}=\underset{\_}{0}$

N einzelne, entkoppelte Bewegungsgleichungen

${\tilde{m}}_k\cdot {\ddot{p}}_k+{\tilde{k}}_k\cdot p_k=0$

für

${\underset{\_}{Q}}_k(t)={\underset{\_}{\hat{Q}}}_k\cdot p_k(t)$.

Schauen Sie sich dazu noch einmal den Tipp zur Unbestimmtheit der Eigenvektoren oben an!

Das generalisierte Eigenwertproblem

Für das generalisierte Eigenwertproblem ($\underset{\_}{\underset{\_}{B}}\ne \underset{\_}{\underset{\_}{0}}$) findet man zunächst keine Standard-Implementierungen zur Lösung unserer Bewegungsgleichungen 2. Ordnung. Matlab bietet die Routine

[V,D,W] = eig(A,B)

zur Lösung von

$\underset{\_}{\underset{\_}{A}}\cdot \underset{\_}{\hat{U}}=\lambda \cdot \underset{\_}{\underset{\_}{B}}\cdot \underset{\_}{\hat{U}}$,

wir müssen also unser System passend umschreiben.

Zentrales Merkmal der Matlab-Routine ist dabei, dass der Eigenwert λ einfach auftaucht, wir also unser System von Bewegungsgleichungen 2. Ordnung auf ein System 1. Ordnung transformieren müssen. Das gelingt mit dem Ansatz

$\underset{\_}{R}=\underset{\_}{\dot{Q}}$ (oder $\underset{\_}{\underset{\_}{M}}\cdot \underset{\_}{R}=\underset{\_}{\dot{Q}}$)

und wir erhalten

$\underset{\underset{\_}{\underset{\_}{B}}}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}\underset{\_}{\underset{\_}{M}}& \underset{\_}{\underset{\_}{0}}\\ \underset{\_}{\underset{\_}{0}}& \underset{\_}{\underset{\_}{1}}\\ \end{array}\right)}}\cdot \underset{\underset{\_}{\dot{U(t)}}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}\underset{\_}{\dot{R}}(t)\\ \underset{\_}{\dot{Q}}(t)\\ \end{array}\right)}}+\underset{-\underset{\_}{\underset{\_}{A}}}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}\underset{\_}{\underset{\_}{B}}& \underset{\_}{\underset{\_}{K}}\\ -\underset{\_}{\underset{\_}{1}}& \underset{\_}{\underset{\_}{0}}\\ \end{array}\right)}}\cdot \underset{\underset{\_}{\underset{\_}{U(t)}}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}\underset{\_}{R}(t)\\ \underset{\_}{Q}(t)\\ \end{array}\right)}}=\underset{\_}{0}$

Mit dem Ansatz

$\underset{\_}{U}(t)=\underset{\_}{\hat{U}}\cdot e^{\lambda t}$

überführen wir dann unsere Bewegungsgleichungen in die Form, die wir in Matlab angesteuert haben.

Im Allgemeinen sind die Eigenwerte λ_i komplexwertig - und damit auch das $\underset{\_}{\hat{U}}$. Wir nehmen dann nur den Realteil der Lösung, also

$\underset{\_}{U}(t)=\mathrm{\Re }(\underset{\_}{\hat{U}}\cdot e^{\lambda t})$.

---

Links

• Matlab: Eigenvalue and Eigenvectors