Sources/Lexikon/Hermitesche-Polynome

In der Methode der Finiten Elemente verwenden wir Trial-Functions, die eindeutig den kinematischen Koordinaten an den Element-Knoten zugeordnet werden. Diese besonderen Trial-Functions heißen Hermite-Polynome.

So können wir als Formfunktion für ein Finites Element ein Polynom dritten Grades

$\displaystyle w(x)=\sum _{i=0}^{3}a_{i}\cdot x^{i}$

wählen, die gesuchten generalisierten Koordinaten des Systems sind dann

$a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}$.

Äquivalent - aber viel praktischer - ist die Darstellung durch die neuen Koordinaten

${\begin{array}{ll}W_{0}&=w(0)\\\Phi _{0}&=w'(0)\\W_{1}&=w(\ell )\\\Phi _{1}&=w'(\ell )\end{array}}$

Die resultierende Formfunktion ist wiederum ein Polynom dritten Grades:

$\displaystyle w(x)=\underbrace {\left(1-{\frac {3\cdot {{x}^{2}}}{{\ell }^{2}}}+{\frac {2\cdot {{x}^{3}}}{{\ell }^{3}}}\right)} _{\displaystyle =:\phi _{1}({\frac {x}{\ell }})}\cdot {{W}_{0}}+\underbrace {\left(x-{\frac {2\cdot {{x}^{2}}}{\ell }}+{\frac {{x}^{3}}{{\ell }^{2}}}\right)} _{\displaystyle =:\phi _{2}({\frac {x}{\ell }})}\cdot {{\Phi }_{0}}+\underbrace {\left({\frac {3\cdot {{x}^{2}}}{{\ell }^{2}}}-{\frac {2\cdot {{x}^{3}}}{{\ell }^{3}}}\right)} _{\displaystyle =:\phi _{3}({\frac {x}{\ell }})}\cdot {{W}_{1}}+\underbrace {\left({\frac {{x}^{3}}{{\ell }^{2}}}-{\frac {{x}^{2}}{\ell }}\right)} _{\displaystyle =:\phi _{4}({\frac {x}{\ell }})}\cdot {{\Phi }_{1}}$

Maxima Source-Code

Für kubische Polynome finden Sie hier die Herleitung.

/* Maxima */

C : [[a[0], a [1],a[2], a [3]],

    [W[0],Phi[0],W[1],Phi[1]]];

ansatz: [w[1] = sum(a[i]*x^(i),i,0,3)];

bc : [subst([x=0], subst(ansatz,w[1]) )= W [0],

     subst([x=0],diff(subst(ansatz,w[1]),x))=Phi[0],
     subst([x=l],     subst(ansatz,w[1])   )= W [1],
     subst([x=l],diff(subst(ansatz,w[1]),x))=Phi[1]];

sol[1] : solve(bc,C[1]);

ansatz: append(ansatz, [w[2] = sum(coeff(expand(subst(sol[1],subst(ansatz,w[1]))),C[2][i])*C[2][i],i,1,4)]);

Die Funktionen

${\begin{array}{ccc}\phi _{1}(\xi )&=&1-3\,\xi ^{2}+2\,\xi ^{3}\\\phi _{2}(\xi )&=&\ell \left(\xi -2\,\xi ^{2}+\xi ^{3}\right)\\\phi _{3}(\xi )&=&3\,\xi ^{2}-2\,\xi ^{3}\\\phi _{4}(\xi )&=&\ell \left(\xi ^{3}-\ell \,\xi ^{2}\right)\\\end{array}}$

heißen Hermite-Polynome.