Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Verfahren von Rayleigh-Ritz (EBB)

Das klassische Verfahren von Ritz arbeitet mit Gleichgewichtsbeziehungen nach dem Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie und Polynom-Ansätzen über die gesamte Stab-Länge.

Wir brauchen also die allgemeinen Terme der Potentiellen Energie des Systems

$U=\Pi -A$,

wobei Π die Formänderungsenergie ist und A z.B. die Arbeitsfunktion der äußeren, senkrechten Last F an der Stelle x=a ist.

Dann ist für einen Euler-Bernoulli-Balken unter einer äußeren Querkraft F:

${\begin{array}{ll}\displaystyle \Pi &=\displaystyle {\frac {1}{2}}\displaystyle \int _{\ell }EI\;(w'')^{2}dx\\\displaystyle A&=F\cdot w(a)\end{array}}$.

Für den Ritz-Ansatz verwenden wir Ansätze - also Trial-Formfunktionen für die Näherung der exakten Lösung - die sich über die gesamte Balkenlänge erstrecken.

Der Ansatz ist allgemein

${\tilde {w}}(x)=\sum W_{i}\cdot \phi _{i}(x)$,

wobei die ϕ_i die linear unabhängigen Formfunktionen und die W_i die Wichtungsfaktoren sind, die wir so bestimmen, dass die Gesamtlösung bestmöglich die gesuchte Funktion approximiert.

Für diese wählen wir ausschließlich Polynome - die können wir bequem differenzieren und integrieren.

Die ϕ_i müssen

• alle geometrischen Randbedingungen erfüllen aber
• brauchen nicht mir den Kraft- oder Momenten-Randbedingungen kompatibel zu sein.

Bei linearen Systemen (wir betrachten nur lineare Systeme) hat Π immer die quadratische Form

$\Pi =\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot \displaystyle {\underline {W}}^{T}\cdot {\underline {\underline {A}}}\cdot {\underline {W}}$

und A immer die Form

$A=\displaystyle {\underline {W}}^{T}\cdot {\underline {b}}$

also

$U=\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot \displaystyle {\underline {W}}^{T}\cdot {\underline {\underline {A}}}\cdot {\underline {W}}-{\underline {W}}^{T}\cdot {\underline {b}}$.

Die Gleichgewichtsbedingungen des Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie lauten:

$\displaystyle {\frac {d\,U}{d\,W_{i}}}{\stackrel {!}{=}}0$

Das System ist im Gleichgewicht, wenn U ein Minimum hat. Die Minimum Prinzipe sagen: das ist der Fall, wenn

${\underline {\underline {A}}}\cdot {\underline {W}}={\underline {b}}$ .