Gelöste Aufgaben/SKER

Aufgabenstellung

Die Bewegung des Dehnstabes wird durch das Zusammenspiel von elastischen Verformungen und Trägheitskräften bestimmt. Man nennt das "Schwingungen von Kontinua" - diese untersuchen wir hier. Der zentrale Aufgabe besteht in der Berechnung der homogenen Lösung - und der Anpassung der Lösungsanteile an die Anfangsbedingungen.

Gesucht ist analytische Lösung für Schwingungen des Euler-Bernoulli-Balkens beim Loslassen aus der enspannten Ruhelage.

Lösung mit Maxima

Header

Für die mathematische Behandlung - insbesondere der Auflösung quadratischer Gleichungen - setzen wir in Maxima voraus, dass

$E > 0, A > 0, ℓ_{0} > 0;$ .

Equations of Motion

In der Gleichgewichtsbeziehung für den Dehnstab setzen wir als eingeprägte, äußere Streckenlast n(x,t) die D'Alembert'sche Trägheitskraft und die Gewichtskraft an, also

n (x, t) = ϱ A \cdot g - ϱ A \cdot \ddot{u} (x, t)

Die Lösung der partiellen Bewegungsgleichung

ϱ A \cdot \ddot{u} - E A \cdot u^{″} = ϱ A \cdot g

setzt sich dann aus zwei Lösungsanteilen, der partikularen Lösung u_p und der homogenen Lösung u_h, zusammen; wir schreiben

u_{t} (x, t) = u_{p} (x, t) + u_{h} (x, t)

.

Particular Solution

Die partikulare Lösung u_p erfüllt die "rechte Seite" der Bewegungsgleichung, also -ϱ A⋅g:

E A \cdot u^{'}'_{p} = - ϱ A \cdot g

.

Die rechte Seite ist zeit-unveränderlich - so auch die partikulare Lösung:

Wir integrieren die Bewegungsgleichung zwei Mal und erhalten

A E u (x) = - \frac{A g ρ x^{2}}{2} + C_{1} x + C_{0}

.

Die zwei Integrationskonstanten C_i müssen wir nun an die Randbedingungen

\begin{aligned} u_{p} (0) & = 0 \\ E A {u_{p}}^{'} (ℓ) & = 0 \end{aligned}

anpassen, wir erhalten aus dem linearen Gleichungssystem

\begin{array}{l} 0 = C_{0} \\ 0 = - A g ϱ x + C_{1} \end{array}

und damit die partikulare Lösung

E A u_{p} (x) = ϱ A g ℓ^{2} (ξ - \frac{ξ^{2}}{2})

Die maximale Auslenkung - am rechten Rand - nutzen wir als Bezugslänge

u_{s} = \frac{ϱ A g ℓ^{2}}{2 E A}

Und so sieht u_p aus:

Homogeneous Solution

Die homogene Bewegungsgleichung

ϱ A \cdot \ddot{u} - E A \cdot u^{″} = 0

lässt Lösungen vom Typ

u_{h} (x, t) = U \cdot \sin (κ x) \cdot \cos (ω_{0} t)

zu, die alle Rand- und Anfangsbedingungen erfüllen. Eigentlich müsste hier ein $U \cdot e^{j ω_{0} t} \cdot e^{κ_{0} t}$ -Ansatz stehen, beim dem auch U komplex wäre. Mit etwas Erfahrung dürfen wir es uns hier einfacher machen.

Einsetzten unseres speziellen Ansatzes liefert

κ^{2} = \frac{ϱ A}{E A} ω_{0}^{2}

.

Die Anpassung an die Randbedingungen

\begin{aligned} u_{h} (0, t) & = 0 \\ E A u_{h} (ℓ,, t) & = 0 \end{aligned}

gestaltet sich einfach: unser besonderer Ansatz erfüllt bereits die erste Randbedingung (sin(0)=0), die zweite Randbedingung cos(κl)=0 ist erfüllt, wenn

κ = \frac{2 π i - π}{2 ℓ}

,

wir bekommen für jedes i eine Lösung, also unendlich viele.

Zu jedem κ gehört eine Eigenkreisfrequenzen

ω_{0}^{2} = \frac{π^{2} E}{ϱ ℓ^{2}} \cdot {(i - \frac{1}{2})}^{2}

.

Die unterste Eigenfrequenz nutzen wir, um eine Bewegungsgleichungen dimensionslos zu machen: die längste Schwingungsperiode ist damit die Bezugs-Zeit

\begin{array}{ll} T_{r e f} & = \frac{2 π}{ω_{0, 1}} \\ = 4 ℓ \sqrt{\frac{ϱ}{E}} \end{array}

Die Lösungen

\frac{u_{h, i} (t)}{U_{i}} = \underset{: = ϕ_{i} (x)}{\underset{⏟}{\sin (κ_{i} x))}} \cdot \cos (ω_{0, i} t)

mit Ihren Modal-Formen ϕ_i und Eigenkreisfreuquenzen ω_0,i sind hier aufgetragen.

Mode	Modalform ϕ_j	Mode	Modalform ϕ_j
#1 $ω_{0, 1} = 1 \cdot \frac{2 π}{T}$		#2 $ω_{0, 2} = 3 \cdot \frac{2 π}{T}$
#3 $ω_{0, 3} = 5 \cdot \frac{2 π}{T}$		#4 $ω_{0, 4} = 7 \cdot \frac{2 π}{T}$
#5 $ω_{0, 5} = 9 \cdot \frac{2 π}{T}$		#6 $ω_{0, 6} = 11 \cdot \frac{2 π}{T}$

Adapt to Initial Conditions

Zum Zeitpunkt t=0 soll

\underset{= \sum_{i = 1}^{\infty} U_{i} \cdot ϕ_{i} (x)}{\underset{⏟}{u_{h} (x, 0)}} + u_{p} (x) = 0

gelten. Das kriegen wir hin, indem wir die (unendlich vielen) U_i der homogenen Lösung passend wählend. Das klingt komplizierter als es ist - die Mathematik bereitet uns den Weg.

⚠ Spezieller Lösungsansatz:

Wir können unseren speziellen Lösungsansatz mit

\cos (ω_{0} t)

übrigens nur deshalb an die Anfangsbedingungen anpassen, weil die Anfangsgeschwindigkeit des Stabes Null ist - das liefert der cos. Für eine von Null verschiedene Anfangsgeschwindigkeit bräuchten wir den sin-Anteil der Lösung.

Die Beziehung oben multiplizieren wir mit einer der Modalformen ϕ_k und bilden das Integral über die Balken-Lange ℓ, also

(\sum_{i = 1}^{\infty} U_{i} \cdot \int_{0}^{ℓ} ϕ_{j} (x) \cdot ϕ_{k} (x) d x) + \int_{0}^{ℓ} u_{p} (x) \cdot ϕ_{k} (x) d x = 0

.

Wir projizieren also die Modalformen auf sich selbst und auf die partikulare Lösung. Und nutzen aus, dass diese Faltungs-Integrale der Modalformen eine besondere Eigenschaft haben:

\int_{0}^{ℓ} ϕ_{j} \cdot ϕ_{k} d x {\begin{cases} = 0 für j \neq k \\ \neq 0 für j = k \end{cases}

Man sagt: die Funktionen sind zueinander verallgemeinert orthogonal. Damit berechnen wir

U_{i} = \frac{32}{π^{3} (8 i^{3} - 12 i^{2} + 6 i - 1)}

,

Animation: Loslassen des Systems aus der unverformten Rugelage.

Anhand der numerischen Werte der Koeffizienten

\begin{array}{l} U_{1} = - 1.03, \\ U_{2} = - 0.0382, \\ U_{3} = - 0.00826, \\ U_{4} = - 0.00301, \\ U_{5} = - 0.00142, \\ U_{6} = - 7.75 \cdot 1 0^{- 4} \end{array}

sehen wir, dass nur die erste Modalform einen signifikanten Beitrag bei der Anpassung an die Anfangsbedingungen liefert. Wir nehmen bei der Auftragung der Gesamtlösung w_t(x,t) trotzdem die ersten sechs Modalformen mit:

In der Animation sehen Sie das Loslassen des Stabes aus der unverformten, geraden Referenzlage für genau eine Periodenlänge T₁ der ersten Modalform. Die Schwingung, die entsteht ist T₁-periodisch - die anderen Modalformen leisten einen (kleinen) Beitrag, dessen Schwingungsperiode genau ein Vielfaches der Grundschwingung ist - die Darstellung der aneinandergestückelten Lösungen geht "ruckfrei" nach einer Periode ineinander über.

✔ Tipp:

Die Grundform der homogenen Differentialgleichung

\ddot{u} - c^{2} \cdot u^{″} = 0 hier mit c^{2} = \frac{E}{ϱ}

ist Basis für alle Musik-Instrumente - ob Saiten- oder Blas-Instrument.

Denn die Bewegungsgleichung von Saiten- und Luft-in-Rohr-Resonanzen führen auf genau diese Bewegungsgleichung.

Überlegen Sie, welche Eigenschaft der homogenen Lösung dieser Bewegungsgleichung ihre besondere Bedeutug ausmacht!

Links

Schwingungen von Kontinua eines Euler-Bernoulli-Balkens (SKEB)

Literature

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