Gelöste Aufgaben/FEAB

Aufgabenstellung

Statt zwei Freiheitsgraden wie in FEAA haben wir jetzt - bei einem Kontinuum - unendlich viele.

Lageplan

Gesucht ist die Näherungslösung für die Auslenkung der Stab-Querschnitte mit dem Prinzip der Virtuellen Verrückungen. Wir verwenden polynomialen Ansatzfunktionen über die Gesamtlänge - also eine Mischung aus Finiten-Elemente-Methode und dem Rayleigh-Ritz-Verfahren.

Lösung mit Maxima

Header

In den Lageplan haben wir bereits den funktionalen Fireheitsgrad u(x) eingetragen, der Stab ist am oberen Ende befestigt und wird am unteren Ende mit der Zugkraft F belastet.

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/*******************************************************/
/* MAXIMA script                                       */
/* version: wxMaxima 16.04.2                           */
/* author: Andreas Baumgart                            */
/* last updated: 2017-10-10                            */
/* ref: FENV step 4 im Prozess: Ganzfeldansätze        */
/* description: mit dem PvV werden die Bewegungsgl.    */
/*          für einen Stab unter Gewichtskraft erstellt*/
/*******************************************************/

Declarations

Für Maxima brauchen wir einige Deklarationen.

Der maximale Exponent des Ansatz-Polynoms ist drei - dann nämlich fällt die Näherungslösung mit der analytischen Lösung zusammen.

Hier wählen wir

$I=2$ (im Maxima-Skipt I=3)

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/* declare variational variables - see 6.3 Identifiers */
declare("δW", alphabetic);
declare("δA", alphabetic);
declare("δΠ", alphabetic);
declare("δQ", alphabetic);
declare("δu", alphabetic);
/*******************************************************/
/* parameter */
I : 3; /* max: 3*/

Formfuctions

Für die Formfunktionen wählen wir

$u(x)=\sum _{i=1}^I{U}_i\cdot {\left(\frac{x}{\ell }\right)}^i$> ,

also für I=2

$u(x)=U_1\frac{x}{l}+U_2{\left(\frac{x}{l}\right)}^2$

und entsprechend

$\delta u(x)=\delta U_1\frac{x}{l}+\delta U_2{\left(\frac{x}{l}\right)}^2$ .

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/* coordinates and their variations */
 Q : makelist( U[i],i,1,I);
δQ : makelist(δU[i],i,1,I);

/* trial functions */
Phi : [(x/l)^1,(x/l)^2,(x/l)^3];

/* Ansatz */
 u : sum( Q[i]*Phi[i],i,1,I);
δu : sum(δQ[i]*Phi[i],i,1,I);

Equilibrium Conditions

Die Gleichgewichtsbedingung

$\begin{array}{ll}\delta W& =\delta W^a-\delta \mathrm{\Pi }\\ & \stackrel{!}{=}0\end{array}$

liefert

$\delta W=\frac{\delta U_{2}Ag\ell \rho }{3}+\frac{\delta U_{1}Ag\ell \rho }{2}-\frac{4U_2{{\delta }{U}}_{2}AE}{3\ell }-\frac{U_1{{\delta }{U}}_{2}AE}{\ell }-\frac{{{\delta }{U}}_1{U}_{2}AE}{\ell }-\frac{U_1{{\delta }{U}}_{1}AE}{\ell }$.

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/* Equilibrium */
δΠ : E*A*integrate(diff(u,x)*diff(δu,x),x,0,l);
δA : integrate(rho*g*A*δu, x,0,l);

Solving

Die Gleichgewichtsbedingungen folgen daraus zu

$\begin{array}{l}-\frac{Ag\ell \rho }{2}+\frac{U_{2}AE}{\ell }+\frac{U_{1}AE}{\ell }=0,\\ -\frac{Ag\ell \rho }{3}+\frac{4U_{2}AE}{3l}+\frac{U_{1}AE}{\ell }=0\end{array}$

und somit

$U_1=\frac{g{\ell }^2\rho }{E},U_2=-\frac{g{\ell }^2\rho }{2E}$

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eom : makelist(-coeff(expand(δA-δΠ),c)=0,c,δQ);
sol: solve(eom, Q)[1];

Post-Processing

Und wir tragen die Ergebnisse auf für die numerische Näherungslösung

$u(x)=\frac{g\rho {\ell }^2}{E}\cdot \frac{x}{\ell }-\frac{g\rho {\ell }^2}{2E}\cdot {\left(\frac{x}{\ell }\right)}^2$

gegen die exakte Lösung auf:

Verschiebung der Stab-Querschnitte.

✔ Spannungen im Stab:

Tragen Sie auch die Spannungen im Stab über die Stablänge an! Berechnen Sie die Spannungen auf Basis der Dehnung $\epsilon =\frac{du}{dx}.$

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/* plot results*/

toPlot: append([xi*(1-xi/2)],
               [        expand(subst(xi*l,x,subst(sol,sum(Q[i]*Phi[i],i,1,I)/(rho*g*l^2/E))))],
               makelist(       subst(xi*l,x,subst(sol,    Q[i]*Phi[i]       /(rho*g*l^2/E))), i,1,I));

plot2d(toPlot, [xi,0,1], [xlabel, "xi→"], [ylabel, "u/((g*l^2*rho)/E)→"],
               [legend, "exact", "approximated", "first order", "second order", "third order"],
               [title, sconcat("I = ",I)]);

Links

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Literature

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