Die Methode der Finiten Elemente ist deshalb so erfolgreich, weil Sie ideal mit der Implementierung im Computer harmoniert.

Auf zwei Ansätzen basiert dieser Erfolg:


	Die komplette Struktur wird in kleine Elemente - die Finiten Elemente - aufgeteilt. Ihre Bewegung wird durch diskrete Knoten-Koordinaten erfasst, die wie bei einem Puzzle zusammenpassen. Alles, was im Element-Inneren "passiert", wird durch die Knoten-Koordinaten erfasst. Die Beschreibung der Struktur wird also komplett auf diese Koordinaten-Koordinaten reduziert.
	Der Beitag jedes elastischen Elements wird additiv zum Gesamtsystem hinzugefügt. Diese Einzel-Beträge heißen Element-Steifigkeitsmatrix. Schnittbilder und Schnittlasten brauchen wir nicht dafür!

Einführungsbeispiel

Wie das geht, zeige ich Ihnen - zuerst ohne Theorie - für ein Beispiel:

Ein Stabwerk aus drei elastischen Stäben und einer Feder wird durch eine Einzelkraft F belastet. Alle Stäbe haben die Dehnsteifigkeit EA, die Federsteifigkeit ist k.

Gegeben sind a, EA, k, F, gesucht sind die Verschiebungen der Knotenpunkte.

Die Lösung mit der Methode der Finiten Elemente zeige ich Ihnen aus drei Perspektiven:

das Prozess-Schema
die Lehrbuch-Sichweise und
die Implementierung in einem Algorithmus (hier Maxima).

Das Modell für ein lineares Modell mit Finiten Elemente ist ein System linearer Gleichungen. In jeder Spalte steht die Gleichgewichtsbedingung für eine Koordinate Q_i, in den Spalten stehen die Koeffizienten der Koordinaten Q_j. Das Gleichungssystem sieht immer so aus:

Wir benennen Stäbe und Knoten, ein Koordinatensystem brauchen wir auch:

Das Stabwerk besteht aus vier elastischen Bauteilen:

den Stäben 1,2 und 3 sowie
der Feder.

Und jedes dieser elastischen Bauteil hinterlässt eine Spur in der Steifigkeitsmatrix K.

Die Verformung der Stäbe erfassen wir durch die Verschiebung der Endpunkte - der Knoten - des Stabwerks. Wie das geht und wir wir daraus eine Element-Steifigkeitsmatrix für einen Dehnstab bekommen, steht in T312. Die Knoten-Verschiebungen schreiben wir in Q hinein, hier für drei Knoten die Verschiebungen jeweils u in x- und v in y-Richtung