Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen

Lösungsverfahren in der Mechanik fallen in zwei Kategorien: solche, die

• auf differentiellen Gleichgewichtsbedingungen von Kräften
  z.B. $EI\cdot w^{IV}=q$ oder
• auf Gleichgewichtsbedingungen der Analytischen Mechanik
  z.B. $\int _{\ell }\left(q\cdot \delta w-EI\cdot w''\cdot \delta w''\right)dx=0$

beruhen. Was wie eine freie Wahl aussieht, ist in Wirklichkeit keine:

Alle zeitgemäßen Verfahren führen auf Weg 2. Wir brauchen das Integral  - hier über ℓ - um einen Fehler über das Gebiet zu minimieren, den wir bei numerischen Verfahren immer in Kauf nehmen.

Vielleicht noch wichtiger als das Augenscheinliche in diesem Beispiel - das Integral - ist das, was Sie in diesem Beispiel nicht sehen: differentielle Gleichgewichtsbedingungen sind in der Strukturmechanik immer Kräfte-Gleichgewichte, hier

$\displaystyle -{\frac {dQ}{dx}}\cdot {\vec {e}}_{z}=q\cdot {\vec {e}}_{z}$.

Um einen Ausgleich zwischen den Fehlern von Kräfte-Gleichgewichten in verschiedene Raumrichtungen herzustellen, bräuchte man weitere ad-hoc Annahmen.

Beide Aspekte zusammen machen analytische Verfahren immer dann unschlagbar, wenn Systeme viele Rand- und Übergangsbedingungen haben. Denn hier wirken zwar Kräfte, aber Arbeiten am System verrichten diese nicht: die Arbeiten der Schnittlasten zwischen Teilsystemen heben sich in Ihrem Beitrag heraus! Wie zum Beispieil bei der Finite Elemente Methode.

Deshalb sind skalare Arbeitsprinzipe und die Analytische Mechanik unschlagbar. Sie liefern einen konsistenten und transparenten Ansatz für zeitgemäße Näherungsverfahren in der Mechanik, ohne sie sind Näherungsverfahren nicht "denk"-bar.

So ist es auch kein Zufall, dass die Entwicklung komplexer Modelle für zweidimensionale Kontinua - die Platte - in die Zeit fällt, zu der Lagrange die Variationsprinzipe voll entwicklet hatte:

Sowohl Sophie Germaine als auch Gustav Kirchhoff bauen ihre Platten-Theorie mit Hilfe des Prinzip der virtuellen Verrückungen auf. Die differentiellen Gleichgewichtsbedingungen ergeben sich erst in einem zweiten Schritt - durch partielle Differentiation - aus dem Variationsprinzip (vgl. auch DGEB).

Viele der Lösungsverfahren zeige ich Ihnen anhand der Bewegungsgleichungen des Euler-Bernoulli-Balkens (EBB). Damit bekommen Sie einen Einblick in verschiedene Ansätze, ohne sich jedesmal in neue Systeme mit Ihren Koordinaten und Gleichgewichtsbeziehungen einarbeiten zu müssen.

Folgende Verfahren stelle ich Ihnen hier vor, die ersten zwei gehören zur Kategorie der Gleichgewichtsbedingungen von Kräften, die letzten zwei zu Gleichgewichtsbedingungen der Analytischen Mechanik:

• Integration der Differentialbeziehung (EBB) (analytische Lösung)
• Finite Differenzen Verfahren (EBB)
• Verfahren von Rayleigh-Ritz (EBB)
• Finite Elemente Methode

Qualitäts- kriterien
math. begründetes Näherungsverfahren	✔	❌	✔	✔
für praktische Probleme nutzbar	❌	✔	❌	✔
lokal	❌	✔	❌	✔
numerisch effizient	✔	❌	✔	✔

Eine kurze Gegenüberstellung vom Verfahren von Ritz und der Methoder der Finiten Elemente finden Sie hier→.

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Untergeordnete Seiten

1. Finite Differenzen Verfahren (EBB)
2. Finite Elemente Methode
3. Im Vergleich: das Verfahren von Ritz und die Methode der Finite Elemente
4. Integration der Differentialbeziehung (EBB)
5. Verfahren von Rayleigh-Ritz (EBB)