Gelöste Aufgaben/Bike

Aufgabenstellung

Ein Hersteller von Scheibenbremsbelägen erhält wiederholt Reklamationen, weil Fahrräder beim Bremsen erhebliche Geräusche entwickeln oder die Gabel starke Schwingungen in der Laufradebene ausführt.

Vorderradgabel mit Scheibenbremse.

Gesucht ist ein mathematisches Modell, das die Entstehung von Geräuschen und Schwingungen an einer Vorderradgabel zu erklären hilft.

Wir simulieren dazu das dynamische Verhalten eines Vorderrades beim Bremsen mit Scheibenbremse.

Strukturieren

Wir suchen einen Mechanismus, bei dem sich eine Schwingung ohne äußere Erregung einstellt. In der Mechanik spricht man dann von einer selbsterregten Schwingung. Bei rein mechanischen Systemen wie unserem Vorderrad sind dabei oft Stick-Slip-Schwingungen die Ursache, bei denen z.B. die Bremse kurzzeitig auf der Bremsscheibe blockiert und sich dann wieder losreißt. Das charakteristische Merkmal, das diesen Mechanismus treibt, ist dabei eine fallende Kennlinie: bei fast allen Materialpaarungen ist die Haftkraft der Bremse größer als die Reibkraft.

Aufgabenstellung konkretisieren

Wir erwarten, den gesuchten Mechanismus nur anhand der Dynamik des Vorderrades beschreiben zu können. Das Vorderrad wird deshalb am Steuersatz vom Rahmen getrennt und dort – gedacht - in einer starren Führung mit konstanter horizontaler Geschwindigkeit v₀ geführt. Um das Modell einfach zu halten, untersuchen wir Schwingungen nur in der Radebene. Das ist eine wesentliche Vereinfachung, weil wir bei Schwingungen unter Einwirkung der Bremse von Bewegungen des Rades um die Steuerrad-Achse rechnen müssen. Diese Vernachlässigen wir. Eine weitere Vereinfachung führen wir durch Setzen des Steuerwinkels von 90° ein. Damit vernachlässigen wir den Beitrag einer vertikalen Bewegung: beim Schwingen der Gabel in der Radebene bleibt der Steuersatz unverändert in der Ausgangshöhe. Diese Auf- und Ab-Bewegung berücksichtigen wir also nicht.

System strukturieren

Unser verbleibendes System besteht nun aus

• Federgabel (Länge $H$) und Bremssattel (Abmessungen $h$ und $b$),
• Nabe (Außenradius $r_1$)mit Bremsscheibe (Radius $r_2$)
• Felge (Innenradius $R_2$)und Mantel (Außenradius $R_1$) sowie den
• Speichen.

Vorderradgabel mit Scheibenbremse.

Dieses System wollen wir als dynamisches System mit Bewegungen nur in der Radebene beschreiben.

Im folgenden müssen wir Annahmen zu den Systemkomponenten treffen, die unseren Vorstellung von den relevanten physikalischen Prozessen entsprechen. Dabei gehen wir nach dem Prinzip

• "keep it dead simple"

vor - was allerdings interpretationsbedürtig ist. Ein erster Iterationsschritt ist:

• "so einfach wie möglich - so kompliziert wie nötig".

Wir versuchen also, die Anzahl der Freiheitsgrade des Systems so gering wie möglich zu halten, ohne dabei das Ziel aus den Augen zu verlieren: die Simulation eines komplexen Vorgangs.

So gehe ich davon aus, dass die selbsterregte Schwingung des Systems ihren Grund in Stick-Slip-Schwingungen an der Bremse hat. Das bedeutet: bei niedrigen Fahrtgeschwindigkeiten $v_0$ sind ist die Relativgeschwindigkeit zwischen Bremsscheibe und Bremssattel Null. Das kann nur aus einer elastischen Verformung der Gabel resultieren.

Der Mechanismus würde also ungefähr so aussehen:

• Beim Bremsen verformt sich die Gabel elastisch, die Nabe wandert - relativ zum Steuersatz - in Fahrtrichtung nach hinten. Damit der Mantel dabei weiter in Punkt A abrollt, reduziert sich dabei seine Drehgeschwindigkeit und es kommt zu einer geringeren Relativgeschwindigkeit an der Bremse. Je nach Betriebsbedingungen kann hier die Relativgeschwindigkeit Null werden, die Bremsebacken haften an der Bremsscheibe und ein Stick-Slip-Mechanismus nimmt seinen Anfang.

Wir machen folgende Annahmen für die Modellierung: Als starre Körper beschrieben wir die Teilkomponenten

• Felge & Mantel sowie,
• Nabe & Bremsscheibe.
• Als rein elastischen Körper beschreiben wir die Speichen, die eine Verdrehung zwischen Nabe und Felge erlauben.

Als Kontinuum mit Masse und Elastizität beschrieben wir die Federgabel. Diese hat einen über ihre Länge veränderlichen Querschnitt.

Als Referenzpunkte wählen wir

• $A$: den Aufstandspunkt des Rades auf dem Asphalt,
• $B$: den Berührungspunkt zwischen Bremsscheibe und Bremsbelag,
• $C$: die Achse des Rades, die Naben und Gabel verbindet sowie
• $N_0,N_1,N_2$: als Punkte entlang der x-Achse der Federgabel.

Um die Auslenkung der Federgabel zu erfassen, führen wir materielle Koordinaten $x,z$ nach Vorgabe des Euler-Bernoulli-Balkens ein. Den Ursprung des Koordinatensystems legen wir passend in die Wurzel der Gabel bei $N_0$.

Vorderradgabel mit Scheibenbremse.

Der Einfachheit halber sollen $C$ und $N_2$ zusammen fallen. Wir modellieren die Gabel mit zwei Finiten Elementen:

1. von $N_0$ nach $N_1$ und
2. von $N_1$ nach $N_2$.

Freikörperbild Vorderrrad.

Als Koordinaten der Drehbewegung führen wir

• $R_1\mathrm{\Omega }t=v_0$ und relativ dazu
• ${\mathrm{\Psi }}_1(t)$ für Felge/Mantel und
• ${\mathrm{\Psi }}_2(t)$ für Nabe/Bremsscheibe

ein.

Freikörperbild Gabel.

Koordinaten der Gabel für $N_1$.

Die Bewegung der Gabel erfassen wir zunächst an den Punkten $N_0,N_1,N_2$ mit den Koordinaten der Bewegung $W_i(t)$ (horizontale Auslenkung) und ${\mathrm{\Phi }}_i(t)$ (Kippen des Querschnitts) für $i=0,1,2$.

Schnittlasten.

Querschnitt.

$\underset{\_}{\tilde{Q}}=\left(\begin{array}{c}{W}_0\\ {\mathrm{\Phi }}_0\\ W_1\\ {\mathrm{\Phi }}_1\\ W_2\\ {\mathrm{\Phi }}_2,\\ {\mathrm{\Psi }}_1,\\ {\mathrm{\Psi }}_2\end{array}\right)$

$\underset{\_}{\delta \tilde{Q}}=\left(\begin{array}{c}\delta W_0\\ \delta {\mathrm{\Phi }}_0\\ \delta W_1\\ \delta {\mathrm{\Phi }}_1\\ \delta W_2\\ \delta {\mathrm{\Phi }}_2,\\ \delta {\mathrm{\Psi }}_1,\\ \delta {\mathrm{\Psi }}_2\end{array}\right)$

$\underset{\_}{Y}=\left(\begin{array}{c}\underset{\_}{Q}\\ \underset{\_}{\dot{Q}}\end{array}\right)$

$\begin{array}{ll}\underset{\_}{\dot{Y}}& =\underset{\_}{f}\left(\underset{\_}{Y}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}\underset{\_}{\dot{Q}}\\ -{\underset{\_}{\underset{\_}{M}}}^{-1}\cdot \underset{\_}{\underset{\_}{K}}\cdot \underset{\_}{Q}+{\underset{\_}{\underset{\_}{M}}}^{-1}\cdot \underset{\_}{P}\end{array}\right)\end{array}$

$\underset{\_}{\underset{\_}{M}}\cdot \underset{\_}{\ddot{Q}}+\underset{\_}{\underset{\_}{K}}\cdot \underset{\_}{Q}=\underset{\_}{P}(\underset{\_}{Q},\underset{\_}{\dot{Q}})$

$\begin{array}{lcc}\delta W& =& \delta W^a-\delta \mathrm{\Pi }\\ & \stackrel{!}{=}& 0\end{array}$

$\delta \mathrm{\Pi }=\delta {\mathrm{\Pi }}_G+\delta {\mathrm{\Pi }}_S$

$\delta {\mathrm{\Pi }}_S=K_S\cdot ({\mathrm{\Psi }}_2-{\mathrm{\Psi }}_1)\cdot (\delta {\mathrm{\Psi }}_2-\delta {\mathrm{\Psi }}_1)$

$\delta {\mathrm{\Pi }}_G=\delta {\mathrm{\Pi }}_{G1}+\delta {\mathrm{\Pi }}_{G2}$

$\delta {\mathrm{\Pi }}_{Gi}=\underset{0}{\overset{{\ell }_i}{\int }}{M}_i(x)\cdot \delta {w_i}^{″}(x)dx$

$M_i(x)=E\cdot I(x)\cdot {w_i}^{″}(x)$

$w_i(x)={\underset{\_}{Q}}_i^T\cdot \underset{\_}{\phi }$

$\underset{\_}{\phi }=\left(\begin{array}{c}(\xi -1{)}^2\cdot (2\cdot \xi +1)\\ {\ell }_i\cdot \xi \cdot (\xi -1{)}^2\\ -{\xi }^2\cdot (2\xi -3)\\ {\ell }_i\cdot {\xi }^2\cdot (\xi -1)\end{array}\right)$

${\underset{\_}{\tilde{Q}}}_i=\left(\begin{array}{c}{W}_{i-1}\\ {\mathrm{\Phi }}_{i-q}\\ W_i\\ {\mathrm{\Phi }}_i\end{array}\right)$

$\delta {\mathrm{\Pi }}_{Gi}=\underset{0}{\overset{{\ell }_i}{\int }}E\cdot I_i(x)\cdot (W_{i-1}{{\phi }_1}^{″}\cdot \delta W_{i-1}{{\phi }_1}^{″}+{\mathrm{\Phi }}_{i-1}{{\phi }_2}^{″}\cdot \delta W_{i-1}{{\phi }_1}^{″}+W_i{{\phi }_3}^{″}\cdot \delta W_{i-1}{{\phi }_1}^{″}+\dots +{\mathrm{\Phi }}_i{{\phi }_4}^{″}\cdot \delta {\mathrm{\Phi }}_i{{\phi }_4}^{″})$

$(.):=\frac{d(.)}{dx}$

$\delta {\mathrm{\Pi }}_{Gi}=\delta Q_i^T\cdot {\underset{\_}{\underset{\_}{K}}}_i\cdot Q_i$

$k_{i,jk}=\underset{0}{\overset{{\ell }_i}{\int }}E\cdot I_i(x){{\phi }_j}^{″}\cdot {{\phi }_k}^{″}dx$

$I_i(x)=\frac{\pi }{64}(D_i(x{)}^4-d_i(x{)}^4)$

$\begin{array}{ccccc}{D}_i(x)& =& D_{i-1}\cdot ({\xi }_1-1)& +& D_i\cdot {\xi }_1\\ d_i(x)& =& d_{i-1}\cdot ({\xi }_1-1)& +& d_i\cdot {\xi }_1\end{array}$

${\xi }_1=\frac{x}{{\ell }_1}$

${\xi }_2=\frac{(x-H)}{{\ell }_2}$

$\frac{d(.)}{dx}=\frac{d(.)}{d{\xi }_i}\cdot \frac{1}{{\ell }_i}$

$\underset{\_}{\underset{\_}{K}}=\left(\begin{array}{cccccc}{k}_{1,33}+k_{2,11}& k_{1,34}+k_{2,12}& k_{2,13}& k_{2,14}& 0& 0\\ k_{1,34}+k_{2,12}& k_{1,44}+k_{2,22}& k_{2,23}& k_{2,24}& 0& 0\\ k_{2,13}& k_{2,23}& k_{2,33}& k_{2,34}& 0& 0& \\ k_{2,14}& k_{2,24}& k_{2,34}& k_{2,44}& 0& 0& \\ 0& 0& 0& 0& K_S& -K_S\\ 0& 0& 0& 0& -K_S& K_S\\ \end{array}\right)$

$\underset{\_}{\underset{\_}{A}}=\left(\begin{array}{ccccccc}& & & & & & 0\\ & & & \underset{\_}{\underset{\_}{K}}& & & 0\\ & & & & & & 0\\ 0& 0& 1& 0& R_1& 0& 0\\ \end{array}\right)$

$\underset{\_}{b}=\left(\begin{array}{c}\\ \underset{\_}{P}\\ \\ 0\end{array}\right)$

$\underset{\_}{x}=\left(\begin{array}{c}\\ \underset{\_}{Q}\\ \\ A_H\end{array}\right)$

$\underset{\_}{\underset{\_}{\tilde{K}}}=\left(\begin{array}{cccccccc}{k}_{1,11}& k_{1,12}& k_{1,13}& k_{1,14}& 0& 0& 0& 0\\ k_{1,12}& k_{1,22}& k_{1,23}& k_{1,24}& 0& 0& 0& 0\\ k_{1,13}& k_{1,23}& k_{1,33}+k_{2,11}& k_{1,34}+k_{2,12}& k_{2,13}& k_{2,14}& 0& 0\\ k_{1,14}& k_{1,24}& k_{1,34}+k_{2,12}& k_{1,44}+k_{2,22}& k_{2,23}& k_{2,24}& 0& 0\\ 0& 0& k_{2,13}& k_{2,23}& k_{2,33}& k_{2,34}& 0& 0& \\ 0& 0& k_{2,14}& k_{2,24}& k_{2,34}& k_{2,44}& 0& 0& \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& K_S& -K_S\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& -K_S& K_S\\ \end{array}\right)$

$\underset{\_}{\underset{\_}{\tilde{M}}}=\left(\begin{array}{cccccccc}{m}_{1,11}& m_{1,12}& k_{m,13}& m_{1,14}& 0& 0& 0& 0\\ m_{1,12}& m_{1,22}& k_{m,23}& m_{1,24}& 0& 0& 0& 0\\ m_{1,13}& m_{1,23}& k_{m,33}+m_{2,11}& m_{1,34}+m_{2,12}& m_{2,13}& m_{2,14}& 0& 0\\ m_{1,14}& m_{1,24}& k_{m,34}+m_{2,12}& m_{1,44}+m_{2,22}& m_{2,23}& m_{2,24}& 0& 0\\ 0& 0& m_{2,13}& m_{2,23}& m_{2,33}+M_f+M_n& m_{2,34}& 0& 0& \\ 0& 0& m_{2,14}& m_{2,24}& m_{2,34}& m_{2,44}& 0& 0& \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& J_f& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& J_n\\ \end{array}\right)$

${\underset{\_}{r}}_{B,1}=\left(\begin{array}{c}H-h-b\cdot \sin ({\mathrm{\Phi }}_1(t))\\ -v_{0}t+W_1(t)+b\cdot \cos ({\mathrm{\Phi }}_1(t))\end{array}\right)$

${\underset{\_}{r}}_{B,2}=\left(\begin{array}{c}H-r_2\cdot \cos (\mathrm{\Omega }t+{\mathrm{\Psi }}_2(t)+{\mathrm{\Theta }}_2)\\ -v_{0}t+W_2(t)-r_2\cdot \sin (\mathrm{\Omega }t+{\mathrm{\Psi }}_2(t)+{\mathrm{\Theta }}_2)\end{array}\right)$

${\underset{\_}{r}}_A=\left(\begin{array}{c}H-R_1\cdot \cos (\mathrm{\Omega }t+{\mathrm{\Psi }}_1(t)+{\mathrm{\Theta }}_1)\\ -v_{0}t+W_1(t)-R_1\cdot \sin (\mathrm{\Omega }t+{\mathrm{\Psi }}_1(t)+{\mathrm{\Theta }}_1)\end{array}\right)$

${\underset{\_}{v}}_{B,rel}={\underset{\_}{\dot{r}}}_{B,1}-{\underset{\_}{\dot{r}}}_{B,2}$

$\begin{array}{lll}{\underset{\_}{v}}_{A,rel}& =& {\underset{\_}{\dot{r}}}_A\\ & =& \left(\begin{array}{c}0\\ -v_0+R_1\cdot (\mathrm{\Omega }+{\dot{\mathrm{\Psi }}}_1(t))+{\dot{W}}_2(t)\end{array}\right)\end{array}$

$\dot{(.)}:=\frac{d(.)}{dt}$

$\delta W^a=\delta W_A^a+\delta W_B^a+\delta W_{d^{\prime }Alembert}^a$

$\begin{array}{lll}{\mathrm{\Theta }}_1& =& -\mathrm{\Omega }t-{\mathrm{\Psi }}_1(t)+\pi \\ {\mathrm{\Theta }}_2& =& -\mathrm{\Omega }t-{\mathrm{\Psi }}_1(t)+\psi \end{array}$

$\delta {\underset{\_}{r}}_{B,1}=\left(\begin{array}{c}-\delta {\mathrm{\Phi }}_{1}b\\ \delta W_1\end{array}\right)$

$\delta {\underset{\_}{r}}_{B2}=\left(\begin{array}{c}{r}_2\cdot \delta {\mathrm{\Psi }}_2\sin (\psi )\\ \delta W_2-r_2\cdot \delta {\mathrm{\Psi }}_2\cos (\psi )\end{array}\right)$

$\delta {\underset{\_}{r}}_A=\left(\begin{array}{c}0\\ \delta W_2+R_1\cdot \delta {\mathrm{\Psi }}_1\end{array}\right)$

$\delta W_A^a={\underset{\_}{F}}_A^T\cdot \delta {\underset{\_}{r}}_A$

$\delta W_B^a={\underset{\_}{F}}_B^T\cdot \delta {\underset{\_}{r}}_{B,1}-{\underset{\_}{F}}_B^T\cdot \delta {\underset{\_}{r}}_{B,2}$

${\underset{\_}{F}}_B=\left(\begin{array}{c}{B}_x\\ B_z\end{array}\right)$

${\underset{\_}{F}}_A=\left(\begin{array}{c}{A}_V\\ A_H\end{array}\right)$

$\begin{array}{lll}h& =& r_2\cos (\psi )\\ b& =-& r_2\sin (\psi )\end{array}$

$\delta W_A^a+\delta W_B^a=B_z\cdot \delta W_1-b\cdot B_x\cdot \delta {\mathrm{\Phi }}_1+\delta W_2\dot{(}{A}_H-B_z)+\delta {\mathrm{\Psi }}_1\cdot R_1\cdot A_H+\delta {\mathrm{\Psi }}_2\cdot (r_2\cdot B_z\cdot \cos (\psi )-r_2\cdot B_x\cdot \sin (\psi ))$

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