Sources/Lexikon/Hermitesche-Polynome

In der Methode der Finiten Elemente verwenden wir Trial-Functions, die eindeutig den kinematischen Koordinaten an den Element-Knoten zugeordnet werden. Diese besonderen Trial-Functions heißen Hermite-Polynome.

So können wir als Formfunktion für ein Finites Element ein Polynom dritten Grades

$w(x)=\sum _{i=0}^3{a}_i\cdot x^i$

wählen, die gesuchten generalisierten Koordinaten des Systems sind dann

$a_0,a_1,a_2,a_3$.

Äquivalent - aber viel praktischer - ist die Darstellung durch die neuen Koordinaten

$\begin{array}{ll}{W}_0& =w(0)\\ {\mathrm{\Phi }}_0& =w^{\prime }(0)\\ W_1& =w(\ell )\\ {\mathrm{\Phi }}_1& =w^{\prime }(\ell )\end{array}$

Die resultierende Formfunktion ist wiederum ein Polynom dritten Grades:

$w(x)=\underset{=:{\varphi }_1(\frac{x}{\ell })}{\underbrace{(1-\frac{3\cdot x^2}{{\ell }^2}+\frac{2\cdot x^3}{{\ell }^3})}}\cdot W_0+\underset{=:{\varphi }_2(\frac{x}{\ell })}{\underbrace{(x-\frac{2\cdot x^2}{\ell }+\frac{x^3}{{\ell }^2})}}\cdot {\mathrm{\Phi }}_0+\underset{=:{\varphi }_3(\frac{x}{\ell })}{\underbrace{(\frac{3\cdot x^2}{{\ell }^2}-\frac{2\cdot x^3}{{\ell }^3})}}\cdot W_1+\underset{=:{\varphi }_4(\frac{x}{\ell })}{\underbrace{(\frac{x^3}{{\ell }^2}-\frac{x^2}{\ell })}}\cdot {\mathrm{\Phi }}_1$

Maxima Source-Code

Für kubische Polynome finden Sie hier die Herleitung.

📑 toggle code

/* Maxima */

C : [[a[0], a [1],a[2], a [3]],

    [W[0],Phi[0],W[1],Phi[1]]];

ansatz: [w[1] = sum(a[i]*x^(i),i,0,3)];

bc : [subst([x=0], subst(ansatz,w[1]) )= W [0],

     subst([x=0],diff(subst(ansatz,w[1]),x))=Phi[0],
     subst([x=l],     subst(ansatz,w[1])   )= W [1],
     subst([x=l],diff(subst(ansatz,w[1]),x))=Phi[1]];

sol[1] : solve(bc,C[1]);

ansatz: append(ansatz, [w[2] = sum(coeff(expand(subst(sol[1],subst(ansatz,w[1]))),C[2][i])*C[2][i],i,1,4)]);

Die Funktionen

$\begin{array}{ccc}{\varphi }_1(\xi )& =& 1-3{\xi }^2+2{\xi }^3\\ {\varphi }_2(\xi )& =& \ell (\xi -2{\xi }^2+{\xi }^3)\\ {\varphi }_3(\xi )& =& 3{\xi }^2-2{\xi }^3\\ {\varphi }_4(\xi )& =& \ell ({\xi }^3-{\xi }^2)\\ \end{array}$

heißen Hermite-Polynome.