Werkzeuge/Gleichgewichtsbedingungen/Arbeitsprinzipe der Analytischen Mechanik/Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie

Die Aussage

Die Aussage des Prinzips ist anschaulich:

Von allen Zuständen, die ein System einnehmen kann, ist derjenige ein Gleichgewichtszustand, der die potentielle Energie des Systems minimiert.

Also:

$\displaystyle U{\stackrel {!}{=}}{\text{ Minimum,, also }}{\frac {d}{dq_{i}}}U=0{\text{ für alle abhängigen Koordinaten }}q_{i}$

Bei einfachen Systemen besteht U meist aus

$U=\Pi -A$

mit dem Potential einer Kraft (V=-A) oder der Arbeitsfunktion (A) am System und der gespeicherten Energie der inneren Kräfte - der Formänderungsenergie Π.

Bei Aufgaben der Mechanik, bei denen Kräfte und Spannungen linear von den gesuchten Koordinaten abhängen, ist das Potential der Energie eines System immer eine quadratische Form:

$\displaystyle U({\underline {q}})={\frac {1}{2}}\;{\underline {q}}^{T}\cdot {\underline {\underline {A}}}\cdot {\underline {q}}-{\underline {q}}^{T}\cdot {\underline {b}}$

Für die Lösung nutzen wir unsere Überlegungen zu Minimum Prinzipen.

Hieraus kommt: U hat ein Minimum, wenn q

${\underline {\underline {A}}}\cdot {\underline {q}}={\underline {b}}$

erfüllt.

Beispiel:

Eine Feder (Steifigkeit k)  wird durch die Kraft F belastet.

Feder unter der Last F.

Berechnen Sie die Federkompression u.

Lösung mit Maxima

Die gesamte potentielle Enerfie des Systems ist die Formänderungsenergie Π minus dem Potential A der äußeren, eingeprägten Kraft F.

$\displaystyle U=\Pi -A{\text{ mit }}\Pi ={\frac {1}{2}}k\cdot u^{2},A=F\cdot u$

Einsetzen liefert

$U=\displaystyle {\frac {k\cdot {{u}^{2}}}{2}}-u\cdot F$

und diese Funktion können wir plotten.

Potential U des Systems.

Offensichtlich hat U ein Minimum bei u=10 mm und das muss auch aus der Gleichgewichtsbeziehung

$\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial u}}=k\cdot u-F{\stackrel {!}{=}}0$

herauskommen - und das tut es auch:

$u=F/k=10mm$

/* Maxima */
params: [k=10*N/mm, F=100*N];

PMPE : U = Pi-A;
potEnergy : [A = F*u, Pi=1/2*k*(-u)^2];

/* potential energy */
PMPE : subst(potEnergy,PMPE);

/* plot U */
plot2d(subst([u=upsilon*mm],subst(params,subst(PMPE,U/(N*mm)))),
                 [upsilon,-5,25],
                 [xlabel, "u/mm→"], [ylabel, "U/(N*mm)→"]);

/* equilibrium condition */
equ : diff(subst(PMPE,U),u)=0;
sol: solve(equ, u)[1]

Anwendung für Kontinua

Die Formänderungsenergie für Kontinua besteht besonders bei Stab-Modellen aus einem charakteristischen quadratischen Term, den wir uns  hier anhand des Euler-Bernoulli-Balkens anschauen.

So setzten wir bei Näherungslösungen in den Ausdruck

$\displaystyle \Pi ={\frac {1}{2}}\int _{\ell }E\;I\;(w'')^{2}\;dx$

die Näherungslösung

${\tilde {w}}(x)=\sum _{i}W_{i}\cdot \phi _{i}(x)$

mit dem gesuchten Wichtungsfaktor Wi und den Trial-Functions

$\phi _{i}(x)$

Für das Näherungsverfahren, müssen diese Funktionen linear unabhängig voneinander sein und den geometrischen (oder essentiellen) Randbedingungen genügen.

Ansonsten dürfen es beliebig viele sein, wir erhalten also Gleichungssysteme für entsprechend viele Wi.

Charakteristisch für das Verfahren vom Minimum der Potentiellen Energie - wie auch dem Prinzip der virtuellen Verrückungen - ist das Entstehen von Integralen mit Paaren von Integranden aus den Trial-Functions. So ist

${\boldsymbol {\Pi }}\propto \displaystyle {\frac {1}{2}}\,\int _{\ell }(w'')^{2}\;dx=\displaystyle {\frac {1}{2}}\,\int _{\ell }\left(\sum _{i}W_{i}\cdot \phi _{i}''(x)\right)\cdot \left(\sum _{i}W_{i}\cdot \phi _{i}''(x)\right)\;dx$

Diesen Ausdruck können wir umschreiben als

${\boldsymbol {\Pi }}\propto \displaystyle {\frac {1}{2}}\,\int _{\ell }(w'')^{2}dx={\frac {1}{2}}\,{\underline {W}}^{T}\cdot {\underline {\underline {A}}}\cdot {\underline {W}}$

mit

$\displaystyle a_{i,j}=\int _{\ell }\phi _{i}''\cdot \phi _{j}''\;dx$.

Diesen Umstand nutzen wir beim Aufstellen der Bewegungsgleichungen mit dem Rechner (vgl. conv → )

Links

• [Wikipedia: Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie

Gelöste Aufgaben