Gelöste Aufgaben/T3BP

Aufgabenstellung

Sie untersuchen das „Three-Body-Problem“(vgl. Wikipedia) numerisch. Dabei sollen die Bahnen von drei Körper mit den Punktmassen m₁, m₂, m₃ in Wechselwirkung miteinander berechnet werden.

"Die Drei Sonnen"

Gesucht ist die Lösung des Anfangswertproblems für verschiedene Anfangswerte (Orte und Geschwindigkeiten) und Massen m_i der Körper.

Lösung mit Matlab®

Die Lösung mit Matlab erfordert keine großen algebraischen Vorbereitungen - für die wir Maxima einsetzten würden. Als äußere Kräfte treten nur die Feldkräfte der Gravitation zwischen den Körpern auf - die wir einfach einschreiben und in Matlab implementieren können.

Declarations

Wir implementieren die Lösung in Matlab. Dafür verwenden wir das script T3BP.m, das die Funktionen

• preprocess.m,
• solve.m und
• postprocess.m

aufruft. Die Klasse

• planets.m

verwenden wir nur, um die Systemparameter "sys" bequem ansprechen zu können.

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T3BP
   |- preprocess
          |- class sys=planets(data)
   |- solve
   |- postprocess

Equilibrium Conditions

Die Gravitationskräfte zwischen den Körpern i und j erfassen wir mit

$F=G\cdot \frac{m_i\cdot m_j}{r_{i,j}^2}$

mit der Gravitationskonstanten

$G=6.674E-11\frac{m^3}{kg\cdot s^2}$

Dabei gehen die Wirkungslinien der Kräfte durch die Massenmittelpunkte der Körper, die Körper ziehen sich gegenseitig an. Damit ist

$\overrightarrow{F}=F\cdot {\overrightarrow{e}}_{i,j}$,

wobei ${\overrightarrow{e}}_{i,j}$ der Einheitsvektor der Anziehungskraft - in diesem Fall von i nach j - ist.

Die Bewegungsgleichungen schreiben wir in Vektorschreibweise für Körper i als

$m_i{\dot{\ddot{\overrightarrow{u}}}}_i=\sum _{\ell =j,k}G\cdot \frac{m_i\cdot m_{\ell }}{r_{i,\ell }^2}{\dot{\overrightarrow{e}}}_{i,\ell }\text{ mit }{\overrightarrow{u}}_i=({\overrightarrow{e}}_x,{\overrightarrow{e}}_y,{\overrightarrow{e}}_z)\cdot \underset{={\underset{\_}{u}}_i}{\underbrace{\left(\begin{array}{l}{u}_x\\ u_y\\ u_z\end{array}\right)}}$.

Dabei ist z.B. i=1 und $\ell$=2,3.

Die drei Bewegungsgleichungen in den drei räumlichen Koordinaten u_i formulieren wir in dimensionslosen Koordinaten. Dafür brauchen wir drei unabhängige Referenzgrößen, hier wählen wir

$\begin{array}{lcll}M& =& m_1& \text{ Referenz-Masse}\\ L& =& 1.610^{11}\text{km}& \text{ Referenz-Länge: der Durchmesser unseres Sonnensystems und}\\ F& =& G\cdot \frac{m_1\cdot m_1}{L^2}& \text{ Referenz-Kraft}\end{array}.$

Uns fehlt noch die Referent-Zeit T, die wir aus

$F=\frac{m_1\cdot L}{T^2}\text{ zu }T=\sqrt{\frac{m_1\cdot L}{F}}$

erhalten.

Damit können wir schreiben:

$\begin{array}{lcll}t& =& \tau \cdot T& \text{ mit der dimensionslosen Zeit }\tau \\ m_i& =& {\theta }_i\cdot m_1& \text{ mit der dimensionslosen Masse }{\theta }_i\\ {\underset{\_}{u}}_i(t)& =& L\cdot {\underset{\_}{U}}_i(\tau )& \text{ mit den dimensionslose Koordinaten }{U}_i\text{ und}\\ r_{i,j}& =& L\cdot {\varrho }_{i,j}& \text{ mit dem dimensionslosen Abstand zweier Körper }{\varrho }_{i,j}\end{array}.$

Einsetzen und Kürzen liefert uns dann die dimensionslosen Bewegungsgleichungen

${\ddot{\underset{\_}{U}}}_i=\sum _{\ell =j,k}\frac{{\theta }_{\ell }}{{\varrho }_{i,\ell }^2}{\dot{\underset{\_}{e}}}_{i,\ell }$.

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function dydt = t3bpdydt(t,y,sys)
% implementation of ode
% params hold system parameters
% get coordinates
for body = 1:3
    u(body,1:3) = transpose(y(3*(body-1)+1:3*body,1));
end

r = zeros(3,3,3);
e = zeros(3,3,3);

% compose vectors, unit vectors and distances
r(1,2,:) = u(2,:)-u(1,:); % this from m[1] to m[2]
   :
   :
   :
% mass 3
dydt(9+7:9+9,1)=sys.theta(1)/R(3,1)*e(3,1,:)+sys.theta(2)/R(3,2)*e(3,2,:);

%% velocities
dydt(1:9,1) = y(10:18,1);

%%
waitbar(t / sys.tEnd);

end

Solving

Text

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Matlab^©-files

Folder Structure

Die Datei-Struktur zeit das Skript T3BP.m. Classes und Functions sind in den jeweiligen Ordnern. Die Excel-Datei hält alle System-Parameter.

Den komplette Quellcode zu diesem Programm können Sie über dieses ZIP-File rechts herunterladen.

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Post-Processing

Text

Trajektoren der Körper

Bewegungsgrößen Σ M_i I_i,x

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Animation der Bewegung

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