Die Eigenfrequenzen und deren Eigenschwingungsformen reichen meist vollständig aus, um das charakteristische Verhalten von schwingungsfähigen, linearen Systemen zu erfassen. Eine Stimmgabel z.B. schwingt hauptsächlich mit 440 Hz - dem Kammerton "a" - und dient damit als Referenz beim Stimmen von Musikinstrumenten. Musikinstrumente, Getriebe und die Oberfläche von Flugzeug-Triebwerken haben ähnliche Schwingungs-Charakteristika, die maßgeblich Ihre strukturellen Belastungen und Schall-Emission steuern.
Eigenwert und Eigenform
Die Modalanalyse ist ein mathematisches Werkzeug zur Schwingungsanalyse, zur Ermittlung der charakteristischen modalen Parameter
- Eigenfrequenz und
- Eigenschwingungsform.
Ausgangspunkt sind meist N lineare Bewegungsgleichungen 2-ter Ordnung eines technischen Systems der Mechanik. Wir schreiben Sie in Matrix-Form
mit
- .
Die Modalanalyse liefert nun den Anteil der Lösung der homogenen Bewegungsgleichung, also von
mit dem Ansatz
- .
Nach dem Einsetzen und Herauskürzen von aus der Bewegungsgleichung taucht die Zeit t nicht mehr in dem homogenen Gleichungssystem auf:
- .
Aus dem System von Bewegungsdifferentialgleichungen ist das System linearer, gewöhnlicher, homogener Gleichungen
geworden. Wir brauchen also nur noch die λ's zu bestimmen, für die das homogene Gleichungssystem eine nicht-triviale (von Null verschiedene) Lösung hat. Davon gibt es genau N Stück.
✔
Tipp: |
Die Matrix A ist für die berechneten Eigenwerte singulär. Das heißt: wir haben nur N-1 unabhängige Gleichungen zur Bestimmung der N Komponenten des Eigenvektors.
Ist also
ein Eigenvektor, dann ist es auch
- .
Oft nutzt man diese Freiheit, um eine zusätzliche Bedingung einzuführen, nämlich
- ,
der Eigenvektor ist dann ein Einheits-Eigenvektor. |
Die Kombination aus dem Quadrat des Eigenwerts (→ Eigenfrequenz) und zugeordnetem Eigenvektor (→ Schwingungsform)
heißt Eigenlösung (vgl. Eigenwertanalyse).
Die Gesamtlösung setzen wir aus den Eigenlösungen zusammen mit
und
- .
Wenn keine gyroskopischen Terme (wie z.B. in FEC1) auftreten, sind die System-Matrizen symmetrisch, dann gilt
- , , .
Diese Symmetrie werden wir ausnutzen!
Eigenschwingungsformen sind orthogonal zueinander
Was das heißt, können wir besonders einfach zeigen, wenn wir zuerst ohne viskose Dämpfung, also mit
arbeiten. Dann nämlich sind die Eigenlösung reell! Die Eigenlösung können wir nun als
abkürzen. Einsetzten der Eigenlösungen in die homogene Bewegungsgleichung - jeweils einmal für die Lösung n=k und n=l - liefert zwei Gleichungssysteme, die wir mit den Eigenvektoren der jeweils anderen Lösung (rot) durchmultiplizieren.
Jetzt transponieren wir die zweite Zeile und führen die Transposition jeweils auf die Matrix-Ebene zurück, z.B. so:
Die beiden Zeilen oben subtrahieren wir nun von einander und finden wegen
die Aussage
- .
Dann ist also
Die Aussage von 2. ist: Die Eigenvektoren zu zwei verschiedenen Eigenwerten sind im Sinne des Skalarprodukts
orthogonal. Das heißt auch, dass die Eigenvektoren nur dann zueinander selbst orthogonal sind, wenn die Massenmatrix proportional zur Einheitsmatrix ist.
Die Modalmatrix
Die N Eigenlösungen können wir in Matrixform schrieben - und damit die Transformation in Modalkoordinaten vorbereiten.
Dazu definieren wir die Modalmatrix
und die Diagonalmatrix der Eigenwerte
- .
Diagonalisierung der Systemmatrizen und Transformation auf Modalkoordinaten
Die Eigenlösungen können wir nun so zusammenfassen:
- .
Wegen der Orthogonalität der Eigenvektoren ist
- und .
Wir definieren
- ,
Und wir nennen
- .
Statt einem System gekoppelter, linearer Differentialgleichungen erhalten wir mit
N einzelne, entkoppelte Bewegungsgleichungen
für
- .
Schauen Sie sich dazu noch einmal den Tipp zur Unbestimmtheit der Eigenvektoren oben an!
Das generalisierte Eigenwertproblem
Für das generalisierte Eigenwertproblem () findet man zunächst keine Standard-Implementierungen zur Lösung unserer Bewegungsgleichungen 2. Ordnung. Matlab bietet die Routine
[V,D,W] = eig(A,B)
zur Lösung von
- ,
wir müssen also unser System passend umschreiben.
Zentrales Merkmal der Matlab-Routine ist dabei, dass der Eigenwert λ einfach auftaucht, wir also unser System von Bewegungsgleichungen 2. Ordnung auf ein System 1. Ordnung transformieren müssen. Das gelingt mit dem Ansatz
- (oder )
und wir erhalten
Mit dem Ansatz
überführen wir dann unsere Bewegungsgleichungen in die Form, die wir in Matlab angesteuern haben.
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