Sources/Lexikon/Quaternionen für Drehungen

Einheits-Quaternionen sind ein probates Werkzeug, um die räumliche Orientierung von Körpern zu beschreiben und räumliche Drehungen durchzuführen.

3D visualization einer Rotation bzgl. der Euler-Axe $\displaystyle {\vec {r}}$ um den Winkel ϕ.

Dabei wird die Rotation durch einen Drehwinkel ϕ um eine Rotationsachse

$\displaystyle {\vec {r}}=r_{x}{\vec {e}}_{x}+r_{y}{\vec {e}}_{y}+r_{z}{\vec {e}}_{z}$

beschreiben. Bei Einheits-Quaternionen gilt

$\displaystyle {\sqrt {r_{x}^{2}+r_{y}^{2}+r_{z}^{2}}}=1$.

Die Rotation wird dann durch das Quadruple

$\displaystyle {\underline {q}}=\left[\cos \varphi ,r_{x}\cdot \sin \varphi ,r_{y}\cdot \sin \varphi ,r_{z}\cdot \sin \varphi \right]$

erfasst.

Die Transformationsmatrix können wir dann durch

${\underline {\underline {D}}}_{Q}({\underline {q}}(t))={\begin{pmatrix}1-2\left({{{q_{3}}(t)}^{2}}+{{{q_{2}}(t)}^{2}}\right)&2\left({q_{1}}(t){q_{2}}(t)-{q_{0}}(t){q_{3}}(t)\right)&2\left({q_{1}}(t){q_{3}}(t)+{q_{0}}(t){q_{2}}(t)\right)\\2\left({q_{0}}(t){q_{3}}(t)+{q_{1}}(t){q_{2}}(t)\right)&1-2\left({{{q_{3}}(t)}^{2}}+{{{q_{1}}(t)}^{2}}\right)&2\left({q_{2}}(t){q_{3}}(t)-{q_{0}}(t){q_{1}}(t)\right)\\2\left({q_{1}}(t){q_{3}}(t)-{q_{0}}(t){q_{2}}(t)\right)&2\left({q_{2}}(t){q_{3}}(t)+{q_{0}}(t){q_{1}}(t)\right)&1-2\left({{{q_{2}}(t)}^{2}}+{{{q_{1}}(t)}^{2}}\right)\end{pmatrix}}$

abgebildet. Als unabhängige Koordinaten eignen sich die ${\underline {q}}(t)$ allerdings nicht: die Bedingung, dass die Euler-Achse ein Einheitsvektor sein muss, lässt sich nur sehr schwer in die Lösung eines Anfangswertproblemes einbauen.