Sources/Lexikon/Variationsmethoden

$\delta \mathrm{\Pi }:={\frac{d}{d\epsilon }|}_{\epsilon =0}\mathrm{\Pi }(u+\epsilon \delta u)$

Die Definition sagt: wir erhalten die Variation der Formänderungsenergie,eines Körpers, indem wir dessen Verschiebungszustand u um ein ε ∙ δu mit ε≪1 variieren und dann den Gradienten nach ε für ε=0 ermitteln.

Für eine linear-elastische Feder der Steifigkeit k, die um u gelängt wird, ist

$\mathrm{\Pi }=\frac{1}{2}k\cdot u^2$

Dann finden wir

$\begin{array}{cl}\delta \mathrm{\Pi }& =[k(u+\epsilon \cdot \delta u)\cdot \delta u]{|}_{\epsilon =0}\\ & =ku\delta u\end{array}$

Bei Koordinaten, die wie in Aufgabe Kw24 über Zwangsbedingungen der Form

$w(t)=f(\phi (t))$

gekoppelt sind, müssen wir oft die Variation nach den Minimalkoordinate - hier φ - durchführen. Das geschieht - so wie oben durch

$\delta w:={\frac{d}{d\epsilon }|}_{\epsilon =0}f(\phi +\epsilon \delta \phi )$.