Sources/Lexikon/Spannungs-Dehnungs-Beziehung (Stress-Strain-Relation)

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Der Zusammenhang zwischen Dehnung un Spannung für isotropes, linear-elastisches Werkstoffverhalten wird durch

σ_=E__ε_

beschrieben. In Komponenten-Schreibweise ist dies

[σxxσyyσzzσyzσxzσxy]=[2μ+λλλ000λ2μ+λλ000λλ2μ+λ0000002μ0000002μ0000002μ][εxxεyyεzzεyzεxzεxy],

wobei λ und μ die Lamé'schen Konstanten sind und zum Elastizitäts-Modul E und der Querkontraktion ν folgende Beziehung haben:

λ=Eν(1+ν)(12ν)μ=E2(1+ν)

Allgemeines Werkstoffgesetzt (3D)

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Alle anderen Werkstoff-Gesetze lassen sich daraus ableiten, z.B. für den ebenen Spannungszustand mit

σzz=0,σxz=0,σyz=0

erhalten wir

σxx=2λμϵyy+(4μ2+4λμ)ϵxx2μ+λ,σyy=(4μ2+4λμ)ϵyy+2λμϵxx2μ+λ,σxy=2μϵxy,ϵzz=λϵyy+λϵxx2μ+λ,ϵyz=0,ϵxz=0

In Matrixschreibweise erhalten wir

(σxxσyyσxy)=(4μ2+4λμ2μ+λ2λμ2μ+λ02λμ2μ+λ4μ2+4λμ2μ+λ0002μ)(εxxεyyεxy)

bzw mit E und ν

(σxxσyyσxy)=(E1ν2Eν1ν20Eν1ν2E1ν2000Eν+1)(εxxεyyεxy).


Ebener Spannugnszustand

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Ganz entsprechend erhalten wir für

σyy=0,σzz=0,σxz=0,σyz=0,σxy=0

die Ergebnisse

σxx=(2μ2+3λμ)ϵxxμ+λ,ϵyy=λϵxx2μ+2λ,ϵzz=λϵxx2μ+2λ,ϵyz=0,ϵxz=0,ϵxy=0

bzw.

σxx=Eϵxx,ϵyy=νϵxx,ϵzz=νϵxx,ϵyz=0,ϵxz=0,ϵxy=0

Eindimensionaler Spannungszustand

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