Gelöste Aufgaben/UEBO

Aufgabenstellung

Diese Problemstellung liefert einen Näherungsansatz für eine Standardlösung zum Euler-Bernoulli-Balken.

Der Euler-Bernoulli-Balken AB wird durch ein Moment M zwischen den beiden gelenkigen Lagern belastet. 

Lageplan

Gesucht ist eine Lösung für die Biegelinie mit dem Ansatz von Ritz und zwei Trial-Funktionen.

(Weg "1" wie in UEBH beschrieben.)

Lösung mit Maxima

Beim Verfahren von Ritz arbeiten wir mit

• dem Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie und
• Ansatzfunktionen über die gesamte Länge des Balkens.

tmp

Wir berechnen die Potentielle Energie U des Systems in Abhängigkeit von den generalisierten Koordinaten W_i und erhalten aus

$\displaystyle {\frac {d\,U}{d\,W_{i}}}{\stackrel {!}{=}}0$

die Gleichung für den gesuchten Koeffizienten W_i der Trial-Funktionen.

Header

Text

1+1

tmp

Um die Lösung dimensionslos zu machen, nutzen wir die analytische Lösung des Problems , hier die Beträge der maximalen Auslenkung des Balkens für a = ℓ und der Verdrehung des Balkens am Momenten-Angriffspunkt für a = ℓ/2:

$W^{max}=\displaystyle {\frac {M\,\ell ^{2}}{9{\sqrt {3}}\,\cdot E\,I}}$

die maximale Auslenkung des Balkens für a=ℓ

$\Phi ^{M}=\displaystyle {\frac {M\,\ell }{12\cdot E\,I}}$ die Verdrehung des Balkens am Momenten-Angriffspunkt für a=ℓ/2

Dimensionslose Orts-Koordinaten sind

${\begin{array}{ll}x&=\xi \cdot \ell ,\\a&=\alpha \cdot \ell .\end{array}}$.

Declarations

Text

1+1

tmp

Formfunctions

Text

1+1

tmp

Potential Energy

Text

1+1

tmp

Equilibrium Conditions

Text

1+1

tmp

Solving

Text

1+1

tmp

Post-Processing

Text

1+1

---

Links

• ...

Literature

• ...

Verlauf der Koordinaten q_w, q_ϕ

Trial-Functions

Biegelinie der Referenzlösung