Gelöste Aufgaben/UEBL
Aufgabenstellung
Die Problemstellung ist identisch zu UEBI (und UEBJ, UEBK):
Der Euler-Bernoulli-Balken AB wird durch seine Gewichtskraft belastet. Er ist in A fest eingespannt und hat eine konstante Breite b sowie eine zwischen A und B linear veränderliche Höhe h.

Gesucht ist eine Näherungslösung mit der Methode der Finiten Elementen, die nur Elemente mit stückweise konstanten Querschnitts-Eigenschaften zulassen.
Gegeben sind für den Balken:
- Länge ℓ, Breite b,
- E-Modul E, Dichte ρ und
- die Höhe h0=b und h1 jeweils in A und B; dazwischen ist die Höhe linear veränderlich.
Lösung mit Maxima
tmp
Unsere FEM-Formulierung mit kubischen Ansatz-Polynomen für Euler-Bernoulli-Balken ist auf Stäbe mit elementweise konstantem Querschnitt beschränkt: E und I müssen je Element konstant sein.
Für dieses Problem können wir die Formulierung also - nominell - nicht anwenden. Wir müssten im Abschnitt Virtuelle Formänderungsenergie die Integration für linear-veränderliche Querschnittsflächen ansetzen und durchführen.
Das machen wir hier nicht.

Wir schauen uns an, wie die Lösung für das Ersatz-Modell aussieht, bei dem wir uns den Originalstab durch einen stufenweise abgesetzten Stab ersetzt denken - hier für zwei Elemente.
Die Querschnittseigenschaften je Element seien die des Original-Stabes im Element-Mittelpunkt.
Header
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tmp
Wir benutzen die Parameter-Deklarationen aus UEBI und laden außerdem die analytische Lösung von dort.
Einziger Unterschied: um die Element-Länge ℓi in Element "i" eindeutig von der Gesamt-Länge des Stabes zu unterscheiden, wählen wir für die Gesamt-Länge den Parameter ℓ0 statt ℓ.
Declarations
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tmp
Wir verwenden aus Abschnitt FEM-Formulierung für den Euler-Bernoulli-Balken
- die Standard Element-Steifigkeitsmatrix
- und die Element-"Rechte Seite "
.
Hier dürfen also der (mittlere) Querschnittsflächeninhalt Ai, das (mittlere) Flächenmoment Ii und die Länge ℓi je Element unterschiedliche Werte annehmen.
Ab hier haben wir einige Freiheiten und die füllen wir folgendermaßen:
- Die Anzahl der Finiten Element ist 3.
- Die Element-Längen wählen wir so, dass sie sich in Stab-Längsrichtung verdoppeln, also
Dann sind mit
die relativen Element-Längen
.
Für diese drei Element bestimmen wir die "mid-point"-Querschnittseigenschaften zu
und
Einsetzen und komponieren der Gesamt-Systemmatrix - mit Einarbeiten der geometrischen Randbedingungen - liefert
.
FEM-Formulation
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tmp
Das lineare Gleichungssystem lösen wir mit der Referenz-Auslenkung
und
zu
mit den Bezeichnungen nach Abschnitt FEM: Trial-Functions für kubische Ansatz-Polynome.
Solving
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tmp
Die Ergebnisse schauen wir uns als dimensionsloser Darstellung an, wobei wir wie in UEBI die Standard-Lösungen für den Balken unter konstanter Streckenlast als Referenz-Lösung ansetzen.
Wir finden
- ... für die Auslenkung w:
Biegelinie w(x) - ... für den Kippwinkel ϕ:
Kippwinkel ϕ(x) - ... für das Biegemoment M:
Biegemomentenverlauf M(x) - ... für die Querkraft Q:
Querkraftverlauf Q(x)
Post-Processing
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Links
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Literature
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