Gelöste Aufgaben/UEBL

Aus numpedia
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Aufgabenstellung

Die Problemstellung ist identisch zu UEBI (und UEBJ, UEBK):

Der Euler-Bernoulli-Balken AB wird durch seine Gewichtskraft belastet. Er ist in A fest eingespannt und hat eine konstante Breite b sowie eine zwischen A und B linear veränderliche Höhe h.

Lageplan

Gesucht ist eine Näherungslösung mit der Methode der Finiten Elementen, die nur Elemente mit stückweise konstanten Querschnitts-Eigenschaften zulassen.

Gegeben sind für den Balken:

  • Länge , Breite b,
  • E-Modul E, Dichte ρ und
  • die Höhe h0=b und h1 jeweils in A und B; dazwischen ist die Höhe linear veränderlich.

Lösung mit Maxima

tmp

Unsere FEM-Formulierung mit kubischen Ansatz-Polynomen für Euler-Bernoulli-Balken ist auf Stäbe mit elementweise konstantem Querschnitt beschränkt: E und I müssen je Element konstant sein.

Für dieses Problem können wir die Formulierung also - nominell - nicht anwenden. Wir müssten im Abschnitt Virtuelle Formänderungsenergie die Integration für linear-veränderliche Querschnittsflächen ansetzen und durchführen.

Das machen wir hier nicht.

FE-Modell

Wir schauen uns an, wie die Lösung für das Ersatz-Modell aussieht, bei dem wir uns den Originalstab durch einen stufenweise abgesetzten Stab ersetzt denken - hier für zwei Elemente.

Die Querschnittseigenschaften je Element seien die des Original-Stabes im Element-Mittelpunkt.


Header

Text


1+1




tmp

Wir benutzen die Parameter-Deklarationen aus UEBI und laden außerdem die analytische Lösung von dort.

Einziger Unterschied: um die Element-Länge i in Element "i" eindeutig von der Gesamt-Länge des Stabes zu unterscheiden, wählen wir für die Gesamt-Länge den Parameter 0 statt ℓ.


Declarations

Text


1+1




tmp

Wir verwenden aus Abschnitt FEM-Formulierung für den Euler-Bernoulli-Balken

  • die Standard Element-Steifigkeitsmatrix

K__i=EIii3(126i126i6i4i26i2i2126i126i6i2i26i4i2)

  • und die Element-"Rechte Seite "

P_i=ρAigi(12i1212i12).

Hier dürfen also der (mittlere) Querschnittsflächeninhalt Ai, das (mittlere) Flächenmoment Ii und die Länge i je Element unterschiedliche Werte annehmen.

Ab hier haben wir einige Freiheiten und die füllen wir folgendermaßen:

  • Die Anzahl der Finiten Element ist 3.
  • Die Element-Längen wählen wir so, dass sie sich in Stab-Längsrichtung verdoppeln, also

i+1=2i

Dann sind mit

λi:=i/0

die relativen Element-Längen

λ1=17,λ2=27,λ3=47.

Für diese drei Element bestimmen wir die "mid-point"-Querschnittseigenschaften zu

A~1=(13h07+h17)b2,A~2=(10h07+4h17)b2,A~3=(4h07+10h17)b2

und

I~1=(13h07+h17)3b96,I~2=(10h07+4h17)3b96,I~3=(4h07+10h17)3b96

Einsetzen und komponieren der Gesamt-Systemmatrix - mit Einarbeiten der geometrischen Randbedingungen - liefert

b4E03(214116416227089627270700162270896886502313627071802490027270714553512618301792729512729017922707180249618301792139502156872901792243023136007295127290179272951272901792007290179224302313672901792243021568)Q_=mg(2598230411620491601029124980343).


FEM-Formulation

Text


1+1




tmp

Das lineare Gleichungssystem lösen wir mit der Referenz-Auslenkung

W^=qref048EIref

und

qref=mg0,EIref=Eb(h0+h12)312

zu

W0W^=0,Φ0W^=0,W1W^=0.016,Φ1W^=0.20930,W2W^=0.1317,Φ2W^=0.55450,W3W^=0.5937,Φ3W^=0.89320

mit den Bezeichnungen nach Abschnitt FEM: Trial-Functions für kubische Ansatz-Polynome.

Solving

Text


1+1




tmp

Die Ergebnisse schauen wir uns als dimensionsloser Darstellung an, wobei wir wie in UEBI die Standard-Lösungen für den Balken unter konstanter Streckenlast als Referenz-Lösung ansetzen.

Wir finden

  • ... für die Auslenkung w:
    Biegelinie w(x)
  • ... für den Kippwinkel ϕ:
    Kippwinkel ϕ(x)
  • ... für das Biegemoment M:
    Biegemomentenverlauf M(x)
  • ... für die Querkraft Q:
    Querkraftverlauf Q(x)


Post-Processing

Text


1+1






Links

  • ...

Literature

  • ...