Gelöste Aufgaben/UEBL

Aufgabenstellung

Die Problemstellung ist identisch zu UEBI (und UEBJ, UEBK):

Der Euler-Bernoulli-Balken AB wird durch seine Gewichtskraft belastet. Er ist in A fest eingespannt und hat eine konstante Breite b sowie eine zwischen A und B linear veränderliche Höhe h.

Lageplan

Gesucht ist eine Näherungslösung mit der Methode der Finiten Elementen, die nur Elemente mit stückweise konstanten Querschnitts-Eigenschaften zulassen.

Gegeben sind für den Balken:

• Länge ℓ, Breite b,
• E-Modul E, Dichte ρ und
• die Höhe h₀=b und h₁ jeweils in A und B; dazwischen ist die Höhe linear veränderlich.

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Unsere FEM-Formulierung mit kubischen Ansatz-Polynomen für Euler-Bernoulli-Balken ist auf Stäbe mit elementweise konstantem Querschnitt beschränkt: E und I müssen je Element konstant sein.

Für dieses Problem können wir die Formulierung also - nominell - nicht anwenden. Wir müssten im Abschnitt Virtuelle Formänderungsenergie die Integration für linear-veränderliche Querschnittsflächen ansetzen und durchführen.

Das machen wir hier nicht.

FE-Modell

Wir schauen uns an, wie die Lösung für das Ersatz-Modell aussieht, bei dem wir uns den Originalstab durch einen stufenweise abgesetzten Stab ersetzt denken - hier für zwei Elemente.

Die Querschnittseigenschaften je Element seien die des Original-Stabes im Element-Mittelpunkt.

Header

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Wir benutzen die Parameter-Deklarationen aus UEBI und laden außerdem die analytische Lösung von dort.

Einziger Unterschied: um die Element-Länge ℓ_i in Element "i" eindeutig von der Gesamt-Länge des Stabes zu unterscheiden, wählen wir für die Gesamt-Länge den Parameter ℓ₀ statt ℓ.

Declarations

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Wir verwenden aus Abschnitt FEM-Formulierung für den Euler-Bernoulli-Balken

• die Standard Element-Steifigkeitsmatrix

${\underset{\_}{\underset{\_}{K}}}_i=\frac{E{I}_i}{{\ell }_i^3}\left(\begin{array}{cccc}12& 6\cdot {\ell }_i& -12& 6\cdot {\ell }_i\\ 6\cdot {\ell }_i& 4\cdot {\ell }_i^2& -6\cdot {\ell }_i& 2\cdot {\ell }_i^2\\ -12& -6\cdot {\ell }_i& 12& -6\cdot {\ell }_i\\ 6\cdot {\ell }_i& 2\cdot {\ell }_i^2& -6\cdot {\ell }_i& 4\cdot {\ell }_i^2\end{array}\right)$

• und die Element-"Rechte Seite "

${\underset{\_}{P}}_i=\rho A_{i}g{\ell }_i\cdot \left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ \frac{{\ell }_i}{12}\\ \frac{1}{2}\\ -\frac{{\ell }_i}{12}\end{array}\right)$.

Hier dürfen also der (mittlere) Querschnittsflächeninhalt A_i, das (mittlere) Flächenmoment I_i und die Länge ℓ_i je Element unterschiedliche Werte annehmen.

Ab hier haben wir einige Freiheiten und die füllen wir folgendermaßen:

• Die Anzahl der Finiten Element ist 3.
• Die Element-Längen wählen wir so, dass sie sich in Stab-Längsrichtung verdoppeln, also

${\ell }_{i+1}=2\cdot {\ell }_i$

Dann sind mit

${\lambda }_i:={\ell }_i/{\ell }_0$

die relativen Element-Längen

${\lambda }_1=\frac{1}{7},{\lambda }_2=\frac{2}{7},{\lambda }_3=\frac{4}{7}$.

Für diese drei Element bestimmen wir die "mid-point"-Querschnittseigenschaften zu

${\tilde{A}}_1=\frac{(\frac{13\cdot h_0}{7}+\frac{h_1}{7})\cdot b}{2},{\tilde{A}}_2=\frac{(\frac{10\cdot h_0}{7}+\frac{4\cdot h_1}{7})\cdot b}{2},{\tilde{A}}_3=\frac{(\frac{4\cdot h_0}{7}+\frac{10\cdot h_1}{7})\cdot b}{2}$

und

${\tilde{I}}_1=\frac{{(\frac{13\cdot h_0}{7}+\frac{h_1}{7})}^3\cdot b}{96},{\tilde{I}}_2=\frac{{(\frac{10\cdot h_0}{7}+\frac{4\cdot h_1}{7})}^3\cdot b}{96},{\tilde{I}}_3=\frac{{(\frac{4\cdot h_0}{7}+\frac{10\cdot h_1}{7})}^3\cdot b}{96}$

Einsetzen und komponieren der Gesamt-Systemmatrix - mit Einarbeiten der geometrischen Randbedingungen - liefert

$\frac{b^4\cdot E}{{\ell }_0^3}\cdot \left(\begin{array}{cccccc}\frac{21411}{64}& -\frac{16227\cdot {\ell }_0}{896}& -27& \frac{27\cdot {\ell }_0}{7}& 0& 0\\ -\frac{16227\cdot {\ell }_0}{896}& \frac{8865\cdot {\ell }_0^2}{3136}& -\frac{27\cdot {\ell }_0}{7}& \frac{18\cdot {\ell }_0^2}{49}& 0& 0\\ -27& -\frac{27\cdot {\ell }_0}{7}& \frac{14553}{512}& -\frac{6183\cdot {\ell }_0}{1792}& -\frac{729}{512}& \frac{729\cdot {\ell }_0}{1792}\\ \frac{27\cdot {\ell }_0}{7}& \frac{18\cdot {\ell }_0^2}{49}& -\frac{6183\cdot {\ell }_0}{1792}& \frac{1395\cdot {\ell }_0^2}{1568}& -\frac{729\cdot {\ell }_0}{1792}& \frac{243\cdot {\ell }_0^2}{3136}\\ 0& 0& -\frac{729}{512}& -\frac{729\cdot {\ell }_0}{1792}& \frac{729}{512}& -\frac{729\cdot {\ell }_0}{1792}\\ 0& 0& \frac{729\cdot {\ell }_0}{1792}& \frac{243\cdot {\ell }_0^2}{3136}& -\frac{729\cdot {\ell }_0}{1792}& \frac{243\cdot {\ell }_0^2}{1568}\end{array}\right)\cdot \underset{\_}{Q}=mg\cdot \left(\begin{array}{c}\frac{25}{98}\\ \frac{23\cdot {\ell }_0}{4116}\\ \frac{20}{49}\\ \frac{16\cdot {\ell }_0}{1029}\\ \frac{12}{49}\\ -\frac{8\cdot {\ell }_0}{343}\end{array}\right)$.

FEM-Formulation

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Das lineare Gleichungssystem lösen wir mit der Referenz-Auslenkung

$\hat{W}=\frac{q_{ref}{\ell }_0^4}{8E{I}_{ref}}$

und

$q_{ref}=\frac{mg}{{\ell }_0},E{I}_{ref}=Eb\frac{{\left(\frac{h_0+h_1}{2}\right)}^3}{12}$

zu

$\begin{array}{ccl}\frac{W_0}{\hat{W}}& =& 0,\\ \frac{{\mathrm{\Phi }}_0}{\hat{W}}& =& 0,\\ \frac{W_1}{\hat{W}}& =& 0.016,\\ \frac{{\mathrm{\Phi }}_1}{\hat{W}}& =& \frac{0.2093}{{\ell }_0},\\ \frac{W_2}{\hat{W}}& =& 0.1317,\\ \frac{{\mathrm{\Phi }}_2}{\hat{W}}& =& \frac{0.5545}{{\ell }_0},\\ \frac{W_3}{\hat{W}}& =& 0.5937,\\ \frac{{\mathrm{\Phi }}_3}{\hat{W}}& =& \frac{0.8932}{{\ell }_0}\end{array}$

mit den Bezeichnungen nach Abschnitt FEM: Trial-Functions für kubische Ansatz-Polynome.

Solving

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Die Ergebnisse schauen wir uns als dimensionsloser Darstellung an, wobei wir wie in UEBI die Standard-Lösungen für den Balken unter konstanter Streckenlast als Referenz-Lösung ansetzen.

Wir finden

• ... für die Auslenkung w:

  

  Biegelinie w(x)

• ... für den Kippwinkel ϕ:

  

  Kippwinkel ϕ(x)

• ... für das Biegemoment M:

  

  Biegemomentenverlauf M(x)

• ... für die Querkraft Q:

  

  Querkraftverlauf Q(x)

Post-Processing

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