Gelöste Aufgaben/UEBD

Aufgabenstellung

Der Euler-Bernoulli-Balken AB wird durch eine vertikale Einzelkraft F belastet. Er ist in A fest eingespannt, in B gelenkig gelagert.

UEBC ist eine Variante dieser Aufgabe.

Lageplan

Gesucht ist eine Lösung für die Biegelinie w(x) mit dem Ansatz von Rayleigh-Ritz und zweiTrial-Funktion.

Lösung mit Maxima

Beim Verfahren von Ritz arbeiten wir mit

• dem Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie und
• Ansatzfunktionen über die gesamte Länge des Balkens.

Um die Lösung dimensionslos zu machen, nutzen wir die analytische Lösung des beidseits gelenkig gelagerten Balkens unter einer mittigen Einzellast (vgl. W8Zu). Hier ist die Neigung des Querschnitts am rechten Rand und die maximale Auslenkung jeweils

${\begin{array}{lll}\displaystyle w'(\ell )&=-\displaystyle {\frac {F\;\ell ^{2}}{16\;EI}}&=:{\hat {\varphi }}\\\displaystyle w({\frac {\ell }{2}})&=\displaystyle {\frac {F\;\ell ^{3}}{48\;EI}}&=:{\hat {w}}\end{array}}$.

Damit können wir uns die Lösungen dieses Problems als Vielfaches der analytischen Lösung eines ähnlichen Problems denken. g