Gelöste Aufgaben/TC12

Aufgabenstellung

Ein Stab ABC (E-Modul: E) besteht aus zwei Sektionen mit den Längen ℓ₁ bzw. ℓ₂ sowie den Flächenmomenten I₁ bzw. I₂. Die Sektionen haben jeweils einen quadratischen Querschnitt, Sektion AB ist durch eine konstante Streckenlast q₀ belastet, in B wirkt das Moment M_B0. Der Stab ist in A durch ein gelenkiges Festlager gelagert. In C ist das Stabende fest mit dem Umfang einer Rolle vom Radius r verbunden, die in D frei drehbar gelagert ist. In B sind die beiden Sektionen fest miteinander verbunden. Die Feder in B ist eine Translationsfeder mit der Steifigkeit  k_B.

Interessant ist die kinematische Randbedingung aus der Rolle.

Lageplan

Gesucht ist die Analytische Lösung für den Euler-Bernoulli-Balken und die Verläufe der Schnittgrößen.

Parameter

Ermitteln Sie für ein Euler-Bernoulli-Modell die analytischen Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken für diese Parameter:

Erstellen Sie dazu ein Programm, mit einem Euler-Bernoulli-Modell für die Berechnung der analytischen Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken. Bestimmen Sie Querschnitts-Abmessungen der Sektionen so, dass die maximale Auslenkung des Systems 10 mm beträgt.

Lösung mit Maxima

Die Aufgabe ist ein klassisches Randwertproblem:

1. zwei Gebiete, in denen ein Euler-Bernoulli-Balken in AB und BC durch eine Streckenlast q belastet ist (in Bereich II ist die Streckenlast allerdings Null) und somit durch die Differentialbeziehung

$E{I}_i{w}_i^{IV}(x_i)=q(x_i),i=\{1,2\}$ berschrieben wird.

1. Rand- und Übergangsbedingungen in den Punkten A, B, C

Wir verwenden x_i und ξ_i als Koordinaten je Bereich, in der Übersicht sieht das Randwertproblem so aus:

Rand A	Bereich I	Übergang B	Bereich II	Rand C

tmp

Wir lösen die Feld-Differentialgleichung exakt und passen die Integrationskonstanten an die Rand- und Übergangsbedingungen an.

Header

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tmp

Wir definieren zunächst die bekannten Parameter zu

$\begin{array}{ll}{{E}{I}}_2& =2\cdot {{E}{I}}_1\\ {\ell }_2& =\frac{{\ell }_1}{2}\\ r& =\frac{{\ell }_1}{4}\\ M_B& =q_0\cdot {\ell }_1^2\\ k_B& =\frac{3\cdot {{E}{I}}_1}{{\ell }_1^3}\\ w_{max}& =90\text{mm}\end{array}$.

Weitere brauchen nicht.

Declarations

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In Bereich I und II gilt dieselbe Bewegungs-Differentialgleichung

$E{I}_i{w}_i^{IV}(x_i)=q(x_i),i=\{1,2\}\text{ mit }q(x_i)=q_0\cdot {\varphi }_0(\xi )+q_1\cdot {\varphi }_1(\xi )$,

die wir durch Integration lösen und dann bereichsweise anpassen.

So gilt für Bereich II: q₀ = 0.

Die allgemeine Lösung ist mit

... für Bereich I:

$\begin{array}{l}{w}_1\left(x\right):=\frac{24\cdot C_{1,0}+24\cdot C_{1,1}\cdot x+12\cdot C_{1,2}\cdot x^2+4\cdot C_{1,3}\cdot x^3+q_0\cdot x^4}{24\cdot {{E}{I}}_1}\\ {\varphi }_1\left(x\right):=\frac{24\cdot C_{1,1}+24\cdot C_{1,2}\cdot x+12\cdot C_{1,3}\cdot x^2+4\cdot q_0\cdot x^3}{24\cdot {{E}{I}}_1}\\ M_1\left(x\right):=-\frac{24\cdot C_{1,2}+24\cdot C_{1,3}\cdot x+12\cdot q_0\cdot x^2}{24}\\ Q_1\left(x\right):=-\frac{24\cdot C_{1,3}+24\cdot q_0\cdot x}{24}\end{array}$

... für Bereich II:

$\begin{array}{l}{w}_2\left(x\right):=\frac{120\cdot l_2\cdot C_{2,0}+120\cdot l_2\cdot C_{2,1}\cdot x+60\cdot l_2\cdot C_{2,2}\cdot x^2+20\cdot l_2\cdot C_{2,3}\cdot x^3}{120\cdot l_2\cdot {{E}{I}}_2}\\ {\varphi }_2\left(x\right):=\frac{120\cdot l_2\cdot C_{2,1}+120\cdot l_2\cdot C_{2,2}\cdot x+60\cdot l_2\cdot C_{2,3}\cdot x^2}{120\cdot l_2\cdot {{E}{I}}_2}\\ M_2\left(x\right):=-\frac{120\cdot l_2\cdot C_{2,2}+120\cdot l_2\cdot C_{2,3}\cdot x}{120\cdot l_2}\\ Q_2\left(x\right):=-C_{2,3}\end{array}$.

Generic Solutions for Euler-Bernoulli-Beam

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Für die 2*4 = 8 Integrationskonstanten

$[C_{1,0},C_{1,1},C_{1,2},C_{1,3},C_{2,0},C_{2,1},C_{2,2},C_{2,3}]$

suchen wir jetzt die passenden Gleichungen aus Rand- und Übergangsbedingungen.

Zur besseren Übersicht nennen wir die Schnitt-Momente und -Kräfte nach den jeweiligen Knotenpunkten A, B, C und fügen als Index ein + / - hinzu, um die Seite (+: rechts vom Knoten, -: links vom Knoten) zu kennzeichnen, wenn diese unterschiedlich sind.

Aus Rand "A"

Geometrische Randbedingungen keine Kraft- und Momenten-Randbedingungen $m_{A}g-S\sin ({\alpha }_A)+Q_{A,+}=0\text{ mit }{Q}_{A,+}=-EI\cdot w^{‴}(x){|}_{x=0}$ $M_{A,+}=0\text{ mit }{M}_{A,+}=-EI\cdot w^{‴}(x){|}_{x=0}$

Aus Übergang "B"

Geometrische Randbedingungen $w_1({\ell }_1)=w_2({\ell }_1)$ ${\varphi }_1({\ell }_1)={\varphi }_2({\ell }_1)$ Kraft- und Momenten-Randbedingungen $-M_{B,-}+M_{B,+}=0$ $-Q_{B,-}-S\sin ({\alpha }_B)+Q_{B,+}=0$

Aus Rand "C"

Geometrische Randbedingungen $w_2(\ell )=0$ Kraft- und Momenten-Randbedingungen $K_C\cdot {\mathrm{\Phi }}_C-M_{C,-}=0\text{ mit }{M}_{C,-}=-EI\cdot w^{″}(x){|}_{x=\ell }$

Einsetzen liefert 8 Gleichungen

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\cr“): {\displaystyle \begin{array}{rl} \displaystyle \frac{{{C}_{1,0}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}&=0\cr \displaystyle -{{C}_{1,2}}&=0\cr \displaystyle \frac{{{l}_{1}^{3}}\cdot {{C}_{1,3}}}{6\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{l}_{1}^{2}}\cdot {{C}_{1,2}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,1}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{C}_{1,0}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{q}_{0}}\cdot {{l}_{1}^{4}}}{24\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}&=\frac{{{C}_{2,0}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}\cr \displaystyle \frac{{{l}_{1}^{2}}\cdot {{C}_{1,3}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,2}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{C}_{1,1}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{q}_{0}}\cdot {{l}_{1}^{3}}}{6\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}&=\frac{{{C}_{2,1}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}\cr \displaystyle -\frac{{{C}_{2,0}}\cdot {{k}_{B}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}-{{C}_{2,3}}+{{C}_{1,3}}+{{q}_{0}}\cdot {{l}_{1}}&=0\cr \displaystyle -{{C}_{2,2}}+{{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,3}}+{{C}_{1,2}}+\frac{{{q}_{0}}\cdot {{l}_{1}^{2}}}{2}&={{M}_{B}}\cr \displaystyle -\frac{{{l}_{2}^{2}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot r}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}-\frac{{{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,2}}\cdot r}{{{\mathit{EI}}_{2}}}-\frac{{{C}_{2,1}}\cdot r}{{{\mathit{EI}}_{2}}}&=\displaystyle\frac{{{l}_{2}^{3}}\cdot {{C}_{2,3}}}{6\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}+\frac{{{l}_{2}^{2}}\cdot {{C}_{2,2}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}+\frac{{{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,1}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}+\frac{{{C}_{2,0}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}\cr \displaystyle -{{C}_{2,3}}\cdot r-{{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,3}}-{{C}_{2,2}}&=0 \end{array}}

für die Integrationskonstanten.

Boundary Conditions

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Prepare for Solver

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Solving

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Post-Processing

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Links

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Literature

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Biegelinie w(x)

Biegemoment M(x)

Querkraft Q(x)

Lageplan

Kippung w'(x)