Gelöste Aufgaben/TC12

Aufgabenstellung

Ein Stab ABC (E-Modul: E) besteht aus zwei Sektionen mit den Längen ℓ₁ bzw. ℓ₂ sowie den Flächenmomenten I₁ bzw. I₂. Die Sektionen haben jeweils einen quadratischen Querschnitt, Sektion AB ist durch eine konstante Streckenlast q₀ belastet, in B wirkt das Moment M_B0. Der Stab ist in A durch ein gelenkiges Festlager gelagert. In C ist das Stabende fest mit dem Umfang einer Rolle vom Radius r verbunden, die in D frei drehbar gelagert ist. In B sind die beiden Sektionen fest miteinander verbunden. Die Feder in B ist eine Translationsfeder mit der Steifigkeit  k_B.

Interessant ist die kinematische Randbedingung aus der Rolle.

Lageplan

Gesucht ist die Analytische Lösung für den Euler-Bernoulli-Balken und die Verläufe der Schnittgrößen.

Parameter

Ermitteln Sie für ein Euler-Bernoulli-Modell die analytischen Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken für diese Parameter:

Erstellen Sie dazu ein Programm, mit einem Euler-Bernoulli-Modell für die Berechnung der analytischen Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken. Bestimmen Sie Querschnitts-Abmessungen der Sektionen so, dass die maximale Auslenkung des Systems 10 mm beträgt.

Lösung mit Maxima

Die Aufgabe ist ein klassisches Randwertproblem:

1. zwei Gebiete, in denen ein Euler-Bernoulli-Balken in AB und BC durch eine Streckenlast q belastet ist (in Bereich II ist die Streckenlast allerdings Null) und somit durch die Differentialbeziehung

$E\;I_{i}w_{i}^{IV}(x_{i})=q(x_{i}),\;\;i=\{1,2\}$ berschrieben wird.

1. Rand- und Übergangsbedingungen in den Punkten A, B, C

Wir verwenden x_i und ξ_i als Koordinaten je Bereich, in der Übersicht sieht das Randwertproblem so aus:

Rand A	Bereich I	Übergang B	Bereich II	Rand C

tmp

Wir lösen die Feld-Differentialgleichung exakt und passen die Integrationskonstanten an die Rand- und Übergangsbedingungen an.

Header

Text

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tmp

Wir definieren zunächst die bekannten Parameter zu

${\begin{array}{ll}{{\mathit {EI}}_{2}}&=2\cdot {{\mathit {EI}}_{1}}\\{{\ell }_{2}}&\displaystyle ={\frac {{\ell }_{1}}{2}}\\r&=\displaystyle {\frac {{\ell }_{1}}{4}}\\{{M}_{B}}&={{q}_{0}}\cdot {{\ell }_{1}^{2}}\\{{k}_{B}}&\displaystyle ={\frac {3\cdot {{\mathit {EI}}_{1}}}{{\ell }_{1}^{3}}}\\w_{max}&=90{\text{mm}}\end{array}}$.

Weitere brauchen nicht.

Declarations

Text

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tmp

In Bereich I und II gilt dieselbe Bewegungs-Differentialgleichung

$E\;I_{i}w_{i}^{IV}(x_{i})=q(x_{i}),\;\;i=\{1,2\}{\text{ mit }}q(x_{i})=q_{0}\cdot \phi _{0}(\xi )+q_{1}\cdot \phi _{1}(\xi )$,

die wir durch Integration lösen und dann bereichsweise anpassen.

So gilt für Bereich II: q₀ = 0.

Die allgemeine Lösung ist mit

... für Bereich I:

${\begin{array}{l}{{w}_{1}}\left(x\right):={\frac {24\cdot {{C}_{1,0}}+24\cdot {{C}_{1,1}}\cdot x+12\cdot {{C}_{1,2}}\cdot {{x}^{2}}+4\cdot {{C}_{1,3}}\cdot {{x}^{3}}+{{q}_{0}}\cdot {{x}^{4}}}{24\cdot {{\mathit {EI}}_{1}}}}\\{{\phi }_{1}}\left(x\right):={\frac {24\cdot {{C}_{1,1}}+24\cdot {{C}_{1,2}}\cdot x+12\cdot {{C}_{1,3}}\cdot {{x}^{2}}+4\cdot {{q}_{0}}\cdot {{x}^{3}}}{24\cdot {{\mathit {EI}}_{1}}}}\\{{M}_{1}}\left(x\right):=-{\frac {24\cdot {{C}_{1,2}}+24\cdot {{C}_{1,3}}\cdot x+12\cdot {{q}_{0}}\cdot {{x}^{2}}}{24}}\\{{Q}_{1}}\left(x\right):=-{\frac {24\cdot {{C}_{1,3}}+24\cdot {{q}_{0}}\cdot x}{24}}\end{array}}$

... für Bereich II:

${\begin{array}{l}{{w}_{2}}\left(x\right):={\frac {120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,0}}+120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,1}}\cdot x+60\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,2}}\cdot {{x}^{2}}+20\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot {{x}^{3}}}{120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{\mathit {EI}}_{2}}}}\\{{\phi }_{2}}\left(x\right):={\frac {120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,1}}+120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,2}}\cdot x+60\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot {{x}^{2}}}{120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{\mathit {EI}}_{2}}}}\\{{M}_{2}}\left(x\right):=-{\frac {120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,2}}+120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot x}{120\cdot {{l}_{2}}}}\\{{Q}_{2}}\left(x\right):=-{{C}_{2,3}}\end{array}}$.

Generic Solutions for Euler-Bernoulli-Beam

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tmp

Für die 2*4 = 8 Integrationskonstanten

$\left[C_{1,0},C_{1,1},C_{1,2},C_{1,3},C_{2,0},C_{2,1},C_{2,2},C_{2,3}\right]$

suchen wir jetzt die passenden Gleichungen aus Rand- und Übergangsbedingungen.

Zur besseren Übersicht nennen wir die Schnitt-Momente und -Kräfte nach den jeweiligen Knotenpunkten A, B, C und fügen als Index ein + / - hinzu, um die Seite (+: rechts vom Knoten, -: links vom Knoten) zu kennzeichnen, wenn diese unterschiedlich sind.

Aus Rand "A"

Geometrische Randbedingungen keine Kraft- und Momenten-Randbedingungen $m_{A}\;g-S\sin(\alpha _{A})+Q_{A,+}=0{\text{ mit }}Q_{A,+}=-EI\cdot w'''(x)|_{x=0}$ $M_{A,+}=0{\text{ mit }}M_{A,+}=-EI\cdot w'''(x)|_{x=0}$

Aus Übergang "B"

Geometrische Randbedingungen $w_{1}(\ell _{1})=w_{2}(\ell _{1})$ $\phi _{1}(\ell _{1})=\phi _{2}(\ell _{1})$ Kraft- und Momenten-Randbedingungen $-M_{B,-}+M_{B,+}=0$ $-Q_{B,-}-S\;\sin(\alpha _{B})+Q_{B,+}=0$

Aus Rand "C"

Geometrische Randbedingungen $w_{2}(\ell )=0$ Kraft- und Momenten-Randbedingungen $K_{C}\cdot \Phi _{C}-M_{C,-}=0{\text{ mit }}M_{C,-}=-EI\cdot w''(x)|_{x=\ell }$

Einsetzen liefert 8 Gleichungen

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\cr“): {\displaystyle \begin{array}{rl} \displaystyle \frac{{{C}_{1,0}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}&=0\cr \displaystyle -{{C}_{1,2}}&=0\cr \displaystyle \frac{{{l}_{1}^{3}}\cdot {{C}_{1,3}}}{6\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{l}_{1}^{2}}\cdot {{C}_{1,2}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,1}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{C}_{1,0}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{q}_{0}}\cdot {{l}_{1}^{4}}}{24\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}&=\frac{{{C}_{2,0}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}\cr \displaystyle \frac{{{l}_{1}^{2}}\cdot {{C}_{1,3}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,2}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{C}_{1,1}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{q}_{0}}\cdot {{l}_{1}^{3}}}{6\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}&=\frac{{{C}_{2,1}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}\cr \displaystyle -\frac{{{C}_{2,0}}\cdot {{k}_{B}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}-{{C}_{2,3}}+{{C}_{1,3}}+{{q}_{0}}\cdot {{l}_{1}}&=0\cr \displaystyle -{{C}_{2,2}}+{{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,3}}+{{C}_{1,2}}+\frac{{{q}_{0}}\cdot {{l}_{1}^{2}}}{2}&={{M}_{B}}\cr \displaystyle -\frac{{{l}_{2}^{2}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot r}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}-\frac{{{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,2}}\cdot r}{{{\mathit{EI}}_{2}}}-\frac{{{C}_{2,1}}\cdot r}{{{\mathit{EI}}_{2}}}&=\displaystyle\frac{{{l}_{2}^{3}}\cdot {{C}_{2,3}}}{6\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}+\frac{{{l}_{2}^{2}}\cdot {{C}_{2,2}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}+\frac{{{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,1}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}+\frac{{{C}_{2,0}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}\cr \displaystyle -{{C}_{2,3}}\cdot r-{{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,3}}-{{C}_{2,2}}&=0 \end{array}}

für die Integrationskonstanten.

Boundary Conditions

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Prepare for Solver

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Solving

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Post-Processing

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Links

• ...

Literature

• ...

Biegelinie w(x)

Biegemoment M(x)

Querkraft Q(x)

Lageplan

Kippung w'(x)