Gelöste Aufgaben/PvV2

Aufgabenstellung

Hier setzen wir unsere Untersuchung aus PvV1 fort: nun bauen wir eine elastische "Leiter" ein, die durch die Kraft F gestaucht wird. Die Problemstellung lautet:

Ein elastischer Stab (Dehnsteifigkeit EA, Länge ℓ₀) ist bei A eingekeilt und steht bei B auf einer reibungsfreien Rolle.

Lageplan

Gesucht ist die Kraft F auf das Stabende als Funktion der horizontalen Verschiebung von Punkt B mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen.

In der gezeichneten Ausgangslage ist der Stab spannungsfrei.

Lösung mit Maxima

Lageplan

Koordinaten

Hier ist die Leiter mit der Koordinate u₁ von Punkt B gezeichnet. Bei der Variation um δu wandert der Angriffspunktspunkt B der Kraft F also in horizontaler Richtung.

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/* MAXIMA script                                       */
/* version: wxMaxima 15.08.2                           */
/* author: Andreas Baumgart                            */
/* last updated: 2017-10-08                            */
/* ref: TM-C, PvV mit elastischen Körpern              */
/* description: finds the displacement u employing PvV */
/*******************************************************/
 
/* declare variational variables - see 6.3 Identifiers */
declare("δW", alphabetic);
declare("δΠ", alphabetic);
declare("Δl", alphabetic);
declare("δl", alphabetic);
declare("δu", alphabetic);
declare("δη", alphabetic);

assume(EA > 0, l[0]>0, h[0]>0, u[0]>0);
/* parameter */
params: [h[0]=2*u[0]];

Kinematik

Über den Satz des Pythagoras bekommen wir einen Zusammenhang zwischen der Verschiebung u₁ und der Stablängung Δℓ:

${{\left({{\ell }_{0}}+{\mathit {\Delta \ell }}\right)}^{2}}={{u}_{1}^{2}}+{{h}_{0}^{2}}{\text{ also }}{\mathit {\Delta \ell }}(u_{1})={\sqrt {{{u}_{1}^{2}}+{{h}_{0}^{2}}}}-{{\ell }_{0}}$

Für die Variation δℓ von Δℓ führen wir die Hilfsgröße ε als Koeffizient von δu ein. Da die virtuelle Verrückung "differentiell klein" sein darf, nehmen wir nur das lineare Glied bzgl. δu und bekommen mit

$\delta \,\ell =\displaystyle {\frac {d\,\Delta \ell (u_{1}+\epsilon \cdot \delta u)}{d\,\epsilon }}|_{\epsilon =0}$

den Ausdruck

${\mathit {\delta \ell }}=\displaystyle {\frac {{{u}_{1}}\cdot {\mathit {\delta u}}}{\sqrt {{{u}_{1}^{2}}+{{h}_{0}^{2}}}}}$.

Der Zusammenhang ist nichtlinear! Das ist anschaulich klar - liefert hier jedoch komplizierte Formeln ....

/* Kinematik: */
kinematics: (l[0]+Δl)^2 = h[0]^2+u[1]^2;
ref: solve(l[0]^2 = h[0]^2+u[0]^2,l[0])[2];
/* displacemant and variation */
disp: solve(kinematics,Δl)[2];
disp: [disp, δl=subst(0,epsilon,
        diff(subst([u[1] = u[1]+epsilon*δu],subst(disp,Δl)),
                                                    epsilon))];

Gleichgewicht

In das Gleichgewicht gehen alle Arbeiten am System ein.

Im Unterschied zu einem Kräftegleichgewicht fallen hier alle Lager-Reaktionskräfte herus: in A und B verschwindet nämlich das Skalarprodukt des virtuellen Verschiebungsvektors mit den Normalkräften auf die Wände - sie stehen senkrecht aufeinander. Im Vergleich zu PvV1 müssen wir allerdings die virtuelle Formänderungsenergie δΠ berücksichtigen:

${\begin{array}{rl}\delta W&=\delta W^{a}-\delta \Pi \\&=-F\cdot \delta u-\displaystyle {\frac {EA}{l_{0}}}\cdot \Delta \ell \cdot \delta \ell \\&{\stackrel {!}{=}}0\end{array}}$

/* equilibrium condition */
PvV: [δW=δW^a-δΠ,
      δW^a = -F*δu,
      δΠ = EA/l[0]*Δl*δl];

Gleichungen und Unbekannte

Mit der Gleichung oben haben wir genau eine Gleichung für F - das passt!.

Allerdings haben wir zwei Koordinaten Δℓ und u₁ sowie deren Variationen. Die Forderung an die virtuellen Verrückungen ist jedoch, dass sie mit "der geometrischen Konfiguration des Systems verträglich" ist. Der Stab bleibt gerade - wir haben also nur eine unabhängige Koordinate im System. Wir können und müssen also entweder

• u₁ durch Δℓ oder
• Δℓ durch u₁

ausdrücken. Wir wählen u₁ als Minimal-Koordinate.

Lösen

Einsetzten von Δℓ und seiner Variationen

${\begin{array}{l}{\mathit {\Delta \ell }}={\sqrt {{{u}_{1}^{2}}+{{h}_{0}^{2}}}}-{{\ell }_{0}}\\{\mathit {\delta \ell }}=\displaystyle {\frac {{{u}_{1}}\cdot {\mathit {\delta u}}}{\sqrt {{{u}_{1}^{2}}+{{h}_{0}^{2}}}}}\end{array}}$

liefert

${\mathit {\delta W}}=-F\cdot {\mathit {\delta u}}-\displaystyle {\frac {{{u}_{1}}\cdot \left({\sqrt {{{u}_{1}^{2}}+{{h}_{0}^{2}}}}-{\sqrt {{{u}_{0}^{2}}+{{h}_{0}^{2}}}}\right)\cdot {\mathit {EA}}\cdot {\mathit {\delta u}}}{{\sqrt {{{u}_{0}^{2}}+{{h}_{0}^{2}}}}\cdot {\sqrt {{{u}_{1}^{2}}+{{h}_{0}^{2}}}}}}$

Charakteristisch ist dabei, dass sich die Variation - hier der Stab-Längung Δℓ - herauskürzt: sie dient nur zur Identifikation einer Gleichgewichtsbeziehung. Das wird wichtig, wenn wir mehrere Unbekannten und Koordinaten haben - dann ist der Koeffizient vor jeder Variation einer Koordinate eine Gleichgewichtsbeziehung. Jetzt macht die Aussage Sinn, dass sie "gedachte, voneinander unabhängige Verschiebungen" sind!

Mit der Abkürzung $u_{1}=\nu \cdot u_{0}$ ist die Gleichgewichtsbeziehung:

$F=-\displaystyle {\frac {\left(\nu \cdot {\sqrt {{{\nu }^{2}}+4}}-{\sqrt {5}}\cdot \nu \right)\cdot {\mathit {EA}}}{{\sqrt {5}}\cdot {\sqrt {{{\nu }^{2}}+4}}}}$

/* solve */
equ : subst(ref,subst(subst(disp,[PvV[2],PvV[3]]),PvV[1]));
equ : subst([u[1]= nu*u[0], u[0]=1],subst(params,equ));
equ: expand(subst(equ,δW))=0;

sol[1]: solve(equ,F)[1];

Ausdeuten der nichtlinearen Lösung

Stabkraft F

Beim Auftragen von F über u₁ sehen wir:

Um den Abstand zur Wand zu verringern (u₁ kleiner zu machen) steigt die Kraft F zunächst, sinkt dann aber wieder auf Null. Das macht anschaulich Sinn - denn wenn der Stab im Extremfall senkrecht steht, brauchen wir (fast) keine Kraft aufzuwenden, um ihn weiter nach "links" zu verschieben. Im Gegenteil: bei einem Experiment würde der Stab durch seine Längskraft aus der vertikalen Lage herausgedrückt.

/* postprocess */
plot2d(subst(sol[1],F/EA),[nu,0,1],
             [legend,false],
             [xlabel, "u1/u0 ->"], [ylabel, "F/EA->"]);

Vergleich von linearer und nichtlinearer Lösung

Ein wenig einfacher wird es, wenn wir kleine Auslenkungen u₂ um die entspannte Lage des Stabes herum betrachten also

Dann dürfen wir die kinematischen Beziehungen linearisieren, also

und erhalten damit

Diesen Zusammenhang können wir als lineare Approximation in das Ergebnis oben eintragen:

Linearisieren der Lösung

Text

1+1

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