Gelöste Aufgaben/Kw99

Aufgabenstellung

Ein Stab ABC ist durch eine lineare veränderliche Streckenlast q mit den Eckwerten q_A in A und q_B in B sowie dem Moment M_B in B belastet. Der Stab (E-Modul: E) besteht aus zwei Sektionen mit den Längen l₁ bzw. l₂ sowie den Flächenmomenten I₁ bzw. I₂. Der Stab ist in A durch ein gelenkiges Festlager, in C durch eine Schiebehülse gelagert, in B sind die beiden Sektionen fest miteinander verbunden. Die Feder in A ist eine Drehfester mit Steifigkeit K_A, die Federn in B und C sind Translationsfedern mit den Steifigkeiten k_B, k_C.

Lageplan

Gesucht ist die analytische Lösung für den Euler-Bernoulli-Balken. Im Vergleich zu Kw98 wird hier eine Lösung mit normierten Koordinaten verfolgt.

Systemparameter

Ermitteln Sie für ein Euler-Bernoulli-Modell die analytischen Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken für diese Parameter:

${\begin{array}{ll}\displaystyle {{\mathit {EI}}_{2}}&={\frac {{\mathit {EI}}_{1}}{2}},\\{{K}_{A}}&=\displaystyle {\frac {{\mathit {EI}}_{1}}{{\ell }_{1}}},\\{{k}_{B}}&=0,\\{{k}_{C}}&=\displaystyle {\frac {{\mathit {EI}}_{1}}{{\ell }_{1}^{3}}},\\{{q}_{B}}&=4\cdot {{q}_{A}},\\{{\ell }_{2}}&=\displaystyle {\frac {{\ell }_{1}}{2}},\\{{M}_{B}}&=5\cdot {{\ell }_{1}^{2}}\cdot {{q}_{A}}\end{array}}$

Lösung mit Maxima

Die Aufgabe ist ein klassisches Randwertproblem:

1. zwei Gebiete, in denen ein Euler-Bernoulli-Balken in AB und BC durch eine Streckenlast q belastet ist (in Bereich II ist die Streckenlast allerdings Null) und somit durch die Differentialbeziehung

   $E\;I_{i}w_{i}^{IV}(x_{i})=q(x_{i}),\;\;i=\{1,2\}$

   berschrieben wird.
2. Rand- und Übergangsbedingungen in den Punkten A, B, C

Wir verwenden x_i und ξ_i als Koordinaten je Bereich, in der Übersicht sieht das Randwertproblem so aus:

Rand A	Bereich I	Übergang B	Bereich II	Rand C

Header

Diese Aufgabe wird mit der Methode der Finiten Elemente in KW96 gelöst. Und im Vergleich zu KW98 wird hier die analytische Lösung mit dimensionslosen Koordinaten angeschreiben.

/*******************************************************/
/* MAXIMA script                                       */
/* version: wxMaxima 15.08.2                           */
/* author: Andreas Baumgart                            */
/* last updated: 2017-09-06                            */
/* ref: TM-C, Labor 1 - dimensionslos                  */
/* description: die Auslenkung w und die unabhängige   */
/*              Ortskoordinate werden dim'los gemacht  */
/*******************************************************/

Declarations

Wir definieren die Formfunktionen für die Streckenlast

${\begin{array}{l}{{\phi }_{0}}\left(\xi \right):=1-\xi \\{{\phi }_{1}}\left(\xi \right):=\xi \end{array}}{\text{ mit }}\xi =\displaystyle {\frac {x_{1}}{\ell _{1}}}$.

/* system parameter */
params: [EI[2]=EI[1]/2,
         K[A]=EI[1]/l[1],
         k[B]=0,
         k[C] = EI[1]/l[1]^3,
         q[B]=4*q[A],
         l[2]=l[1]/2,
         M[B] = 5*q[A]*l[1]^2];

/* form - functions  */
phi[0](xi) := 1 - xi;
phi[1](xi) :=     xi;

In Bereich I und II gilt dieselbe Bewegungs-Differentialgleichung

$E\;I_{i}w_{i}^{IV}(x_{i})=q(x_{i}),\;\;i=\{1,2\}{\text{ mit }}q(x_{i})=q_{0}\cdot \phi _{0}(\xi )+q_{1}\cdot \phi _{1}(\xi )$,

die wir durch Integration lösen und dann bereichsweise an Rand- und Übergangsbedingungen anpassen. Diese Aufgabe wird etwas übersichtlicher, wenn wir die Auslenkung w und die Ortskoordinate x dimensionslos machen. So wählen wir:

$w=\ell _{Bez}\cdot {\tilde {w}}$

und setzten für die Bezugslänge die Auslenkung eines Kragbalkens unter konstanter Streckenlast (hier q_A) an. Diese Auslenkung findet man in Standard-Lösungen unter "Kragbalken mit Streckenlast" zu:

${{\ell }_{\mathit {Bez}}}=\displaystyle {\frac {{{q}_{A}}\cdot {{\ell }_{1}^{4}}}{8\cdot {{\mathit {EI}}_{1}}}}$

Zusätzlich wählen wir zwei unabhängige, dimensionslose Ortskoordinaten für die Bereich I und II, die ihren Ursprung jeweils in den Punkten A und B haben.

$\xi _{i}=\displaystyle {\frac {x_{i}}{\ell _{i}}}$

Mit

${\begin{array}{lll}q_{0}=q_{A},&q_{1}=q_{B}&{\text{ für Bereich I und}}\\q_{0}=0,&q_{1}=0&{\text{ für Bereich II}}\end{array}}$

ist die allgemeine Lösung für

${\begin{array}{ll}\ldots {\text{ die Verdrehung: }}&\displaystyle \phi _{i}(x)={\frac {d\,w_{i}(x)}{d\,x_{i}}}\\\ldots {\text{ das Biege-Moment: }}&\displaystyle M_{i}(x)=-EI_{i}{\frac {d^{2}\,w_{i}(x)}{d\,x_{i}^{2}}}\\\ldots {\text{ die Querkraft: }}&\displaystyle Q_{i}(x)=-EI_{i}{\frac {d^{3}\,w_{i}(x)}{d\,x_{i}^{3}}}\end{array}}$

... für Bereich I:

${\begin{array}{ll}{{w}_{1}}\left(\xi \right):=&{\frac {120\cdot {{C}_{1,0}}\cdot {{\ell }_{\mathit {Bez}}}+120\cdot {{C}_{1,1}}\cdot {{\ell }_{\mathit {Bez}}}\cdot \xi +60\cdot {{C}_{1,2}}\cdot {{\ell }_{\mathit {Bez}}}\cdot {{\xi }^{2}}+20\cdot {{C}_{1,3}}\cdot {{\ell }_{\mathit {Bez}}}\cdot {{\xi }^{3}}+\left(5\cdot {{\ell }_{\mathit {Bez}}}\cdot {{\xi }^{4}}-{{\ell }_{\mathit {Bez}}}\cdot {{\xi }^{5}}\right)\cdot {{q}_{A}}+{{\ell }_{\mathit {Bez}}}\cdot {{\xi }^{5}}\cdot {{q}_{B}}}{15\cdot {{q}_{A}}}}\\{{\phi }_{1}}\left(\xi \right):=&{\frac {120\cdot {{C}_{1,1}}\cdot {{\ell }_{\mathit {Bez}}}+120\cdot {{C}_{1,2}}\cdot {{\ell }_{\mathit {Bez}}}\cdot \xi +60\cdot {{C}_{1,3}}\cdot {{\ell }_{\mathit {Bez}}}\cdot {{\xi }^{2}}+\left(20\cdot {{\ell }_{\mathit {Bez}}}\cdot {{\xi }^{3}}-5\cdot {{\ell }_{\mathit {Bez}}}\cdot {{\xi }^{4}}\right)\cdot {{q}_{A}}+5\cdot {{\ell }_{\mathit {Bez}}}\cdot {{\xi }^{4}}\cdot {{q}_{B}}}{15\cdot {{\ell }_{1}}\cdot {{q}_{A}}}}\\{{M}_{1}}\left(\xi \right):=&-{\frac {{{\mathit {EI}}_{1}}\cdot \left(120\cdot {{C}_{1,2}}\cdot {{\ell }_{\mathit {Bez}}}+120\cdot {{C}_{1,3}}\cdot {{\ell }_{\mathit {Bez}}}\cdot \xi +\left(60\cdot {{\ell }_{\mathit {Bez}}}\cdot {{\xi }^{2}}-20\cdot {{\ell }_{\mathit {Bez}}}\cdot {{\xi }^{3}}\right)\cdot {{q}_{A}}+20\cdot {{\ell }_{\mathit {Bez}}}\cdot {{\xi }^{3}}\cdot {{q}_{B}}\right)}{15\cdot {{\ell }_{1}^{2}}\cdot {{q}_{A}}}}\\{{Q}_{1}}\left(\xi \right):=&-{\frac {{{\mathit {EI}}_{1}}\cdot \left(120\cdot {{C}_{1,3}}\cdot {{\ell }_{\mathit {Bez}}}+\left(120\cdot {{\ell }_{\mathit {Bez}}}\cdot \xi -60\cdot {{\ell }_{\mathit {Bez}}}\cdot {{\xi }^{2}}\right)\cdot {{q}_{A}}+60\cdot {{\ell }_{\mathit {Bez}}}\cdot {{\xi }^{2}}\cdot {{q}_{B}}\right)}{15\cdot {{\ell }_{1}^{3}}\cdot {{q}_{A}}}}\end{array}}$

... für Bereich II:

${\begin{array}{ll}{{w}_{2}}\left(\xi \right):=&{\frac {24\cdot {{\mathit {EI}}_{1}}\cdot {{\ell }_{2}^{4}}\cdot {{C}_{2,0}}\cdot {{\ell }_{\mathit {Bez}}}+24\cdot {{\mathit {EI}}_{1}}\cdot {{\ell }_{2}^{4}}\cdot {{C}_{2,1}}\cdot {{\ell }_{\mathit {Bez}}}\cdot \xi +12\cdot {{\mathit {EI}}_{1}}\cdot {{\ell }_{2}^{4}}\cdot {{C}_{2,2}}\cdot {{\ell }_{\mathit {Bez}}}\cdot {{\xi }^{2}}+4\cdot {{\mathit {EI}}_{1}}\cdot {{\ell }_{2}^{4}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot {{\ell }_{\mathit {Bez}}}\cdot {{\xi }^{3}}}{3\cdot {{\ell }_{1}^{4}}\cdot {{\mathit {EI}}_{2}}\cdot {{q}_{A}}}}\\{{\phi }_{2}}\left(\xi \right):=&{\frac {24\cdot {{\mathit {EI}}_{1}}\cdot {{\ell }_{2}^{4}}\cdot {{C}_{2,1}}\cdot {{\ell }_{\mathit {Bez}}}+24\cdot {{\mathit {EI}}_{1}}\cdot {{\ell }_{2}^{4}}\cdot {{C}_{2,2}}\cdot {{\ell }_{\mathit {Bez}}}\cdot \xi +12\cdot {{\mathit {EI}}_{1}}\cdot {{\ell }_{2}^{4}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot {{\ell }_{\mathit {Bez}}}\cdot {{\xi }^{2}}}{3\cdot {{\ell }_{1}^{4}}\cdot {{\ell }_{2}}\cdot {{\mathit {EI}}_{2}}\cdot {{q}_{A}}}}\\{{M}_{2}}\left(\xi \right):=&-{\frac {24\cdot {{\mathit {EI}}_{1}}\cdot {{\ell }_{2}^{4}}\cdot {{C}_{2,2}}\cdot {{\ell }_{\mathit {Bez}}}+24\cdot {{\mathit {EI}}_{1}}\cdot {{\ell }_{2}^{4}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot {{\ell }_{\mathit {Bez}}}\cdot \xi }{3\cdot {{\ell }_{1}^{4}}\cdot {{\ell }_{2}^{2}}\cdot {{q}_{A}}}}\\{{Q}_{2}}\left(\xi \right):=&-{\frac {8\cdot {{\mathit {EI}}_{1}}\cdot {{\ell }_{2}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot {{\ell }_{\mathit {Bez}}}}{{{\ell }_{1}^{4}}\cdot {{q}_{A}}}}\end{array}}$

Integration of Differential Equation to Formfunction

Y

Y

Für die 2*4 = 8 Integrationskonstanten

$\left[C_{1,0},C_{1,1},C_{1,2},C_{1,3},C_{2,0},C_{2,1},C_{2,2},C_{2,3}\right]$

suchen wir jetzt die passenden Gleichungen aus Rand- und Übergangsbedingungen.

Zur besseren Übersicht nennen wir die Schnitt-Momente und -Kräfte nach den jeweiligen Knotenpunkten A, B, C und fügen als Index ein + / - hinzu, um die Seite (+: rechts vom Knoten, -: links vom Knoten) zu kennzeichnen.

Aus Rand "A"

Geometrische Randbedingungen $w_{1}(0)=0$ Kraft- und Momenten-Randbedingungen $K_{A}\cdot \phi _{A}+M_{A,+}=0{\text{ mit }}M_{A,+}=-EI_{1}\cdot w''(x)|_{x=0}$

Aus Übergang "B"

Geometrische Randbedingungen $w_{1}(\ell _{1})=w_{2}(\ell _{1})$ $\phi _{1}(\ell _{1})=\phi _{2}(\ell _{1})$ Kraft- und Momenten-Randbedingungen $-M_{B,-}-M_{B}+M_{B,+}=0$ $-Q_{B,-}-k_{B}\cdot w_{B}+-Q_{B,+}=0$

Aus Rand "C"

Geometrische Randbedingungen $\phi _{2}(\ell _{2})=0$ Kraft- und Momenten-Randbedingungen $-Q_{C,-}-k_{C}\cdot w_{C}=0$

Und das liefert das Gleichungssystem aus 8 Gleichungen

${\begin{array}{ccc}{{C}_{1,0}}&=&0\\{\frac {{{\ell }_{1}}\cdot {{C}_{1,1}}\cdot {{K}_{A}}}{{\mathit {EI}}_{1}}}-{{C}_{1,2}}&=&0\\{\frac {{q}_{B}}{120}}+{\frac {{q}_{A}}{30}}+{\frac {{C}_{1,3}}{6}}+{\frac {{C}_{1,2}}{2}}+{{C}_{1,1}}+{{C}_{1,0}}&=&{\frac {{{\mathit {EI}}_{1}}\cdot {{\ell }_{2}^{4}}\cdot {{C}_{2,0}}}{{{\ell }_{1}^{4}}\cdot {{\mathit {EI}}_{2}}}}\\{\frac {{q}_{B}}{24}}+{\frac {{q}_{A}}{8}}+{\frac {{C}_{1,3}}{2}}+{{C}_{1,2}}+{{C}_{1,1}}&=&{\frac {{{\mathit {EI}}_{1}}\cdot {{\ell }_{2}^{3}}\cdot {{C}_{2,1}}}{{{\ell }_{1}^{3}}\cdot {{\mathit {EI}}_{2}}}}\\{\frac {{q}_{B}}{2}}-{\frac {{{\ell }_{2}^{4}}\cdot {{C}_{2,0}}\cdot {{k}_{B}}}{{{\ell }_{1}}\cdot {{\mathit {EI}}_{2}}}}+{\frac {{q}_{A}}{2}}-{\frac {{{\ell }_{2}}\cdot {{C}_{2,3}}}{{\ell }_{1}}}+{{C}_{1,3}}&=&0\\-{\frac {{M}_{B}}{{\ell }_{1}^{2}}}+{\frac {{q}_{B}}{6}}+{\frac {{q}_{A}}{3}}-{\frac {{{\ell }_{2}^{2}}\cdot {{C}_{2,2}}}{{\ell }_{1}^{2}}}+{{C}_{1,3}}+{{C}_{1,2}}&=&0\\{\frac {{{\ell }_{2}^{3}}\cdot {{C}_{2,3}}}{2\cdot {{\ell }_{1}^{3}}}}+{\frac {{{\ell }_{2}^{3}}\cdot {{C}_{2,2}}}{{\ell }_{1}^{3}}}+{\frac {{{\ell }_{2}^{3}}\cdot {{C}_{2,1}}}{{\ell }_{1}^{3}}}&=&0\\-{\frac {{{\ell }_{2}^{4}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot {{k}_{C}}}{6\cdot {{\ell }_{1}}\cdot {{\mathit {EI}}_{2}}}}-{\frac {{{\ell }_{2}^{4}}\cdot {{C}_{2,2}}\cdot {{k}_{C}}}{2\cdot {{\ell }_{1}}\cdot {{\mathit {EI}}_{2}}}}-{\frac {{{\ell }_{2}^{4}}\cdot {{C}_{2,1}}\cdot {{k}_{C}}}{{{\ell }_{1}}\cdot {{\mathit {EI}}_{2}}}}-{\frac {{{\ell }_{2}^{4}}\cdot {{C}_{2,0}}\cdot {{k}_{C}}}{{{\ell }_{1}}\cdot {{\mathit {EI}}_{2}}}}+{\frac {{{\ell }_{2}}\cdot {{C}_{2,3}}}{{\ell }_{1}}}&=&0\end{array}}$

für die Integrationskonstanten.

Boundary Conditions

...

1+1

Das Gleichungssystem wollen wir als

${\underline {\underline {A}}}\cdot {\underline {x}}={\underline {b}}$

schreiben, also - hier nach Einsetzen der System-Parameter

${\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&-1&0&0&0&0&0\\1&1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{6}}&-{\frac {1}{8}}&0&0&0\\0&1&1&{\frac {1}{2}}&0&-{\frac {1}{4}}&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&-{\frac {1}{2}}\\0&0&1&1&0&0&-{\frac {1}{4}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{16}}\\0&0&0&0&-{\frac {1}{8}}&-{\frac {1}{8}}&-{\frac {1}{16}}&{\frac {23}{48}}\end{pmatrix}}\cdot {\underline {x}}={\begin{pmatrix}0\\0\\-{\frac {{q}_{A}}{15}}\\-{\frac {7\cdot {{q}_{A}}}{24}}\\-{\frac {5\cdot {{q}_{A}}}{2}}\\4\cdot {{q}_{A}}\\0\\0\end{pmatrix}}$

Prepare for Solver

...

}}

<!-------------------------------------------------------------------------------->
Das Lösen des Gleichungssystems liefert

::<math>\begin{array}{l}  {{C}_{1,0}}=0,\\{{C}_{1,1}}=246.1 \; N {{m}^{2}},\\{{C}_{1,2}}=703.2\; N m,\\{{C}_{1,3}}=-2404.3\; N,\\{{C}_{2,0}}=127.6 \;  N m^3,\\{{C}_{2,1}}=224.7\;  N m^2,\\{{C}_{2,2}}=-979.8 \;  N m,\\{{C}_{2,3}}=2101.8 N \end{array}</math>.


{{MyCodeBlock|title=Solving
|text=...
|code=
<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
1+1

Das Lösen des Gleichungssystems liefert

${\begin{array}{l}{{C}_{1,0}}=0,\\{{C}_{1,1}}={\frac {1331\cdot {{q}_{A}}}{1170}},\\{{C}_{1,2}}={\frac {1331\cdot {{q}_{A}}}{1170}},\\{{C}_{1,3}}=-{\frac {257\cdot {{q}_{A}}}{1365}},\\{{C}_{2,0}}={\frac {57058\cdot {{q}_{A}}}{4095}},\\{{C}_{2,1}}={\frac {81007\cdot {{q}_{A}}}{8190}},\\{{C}_{2,2}}=-{\frac {9994\cdot {{q}_{A}}}{819}},\\{{C}_{2,3}}={\frac {6311\cdot {{q}_{A}}}{1365}}\end{array}}$

Post-Processing

Und die Ergebnisse können wir uns anschauen ...

... für w(x):

Biegelinie w(x)

... für Φ(x):

Kippung w'(x)

... für M(x):

Biegemoment M(x)

... für Q(x):

Querkraft Q(x)

... für die Lager-Reaktionskräfte:

${\begin{array}{ll}{{A}_{z}}&={\frac {257\cdot {{\ell }_{1}}\cdot {{q}_{A}}}{1365}},\\{{M}_{A}}&={\frac {1331\cdot {{\ell }_{1}^{2}}\cdot {{q}_{A}}}{1170}},\\{{B}_{z}}&=0,\\{{C}_{z}}&={\frac {6311\cdot {{\ell }_{1}}\cdot {{q}_{A}}}{2730}},\\{{M}_{C}}&={\frac {31037\cdot {{\ell }_{1}^{2}}\cdot {{q}_{A}}}{16380}}\end{array}}$

/* bearing forces and moments */
reactForces: [A[z] = Q[1](0),
              M[A] = K[A]*Phi[1](0),
              B[z] = k[B]*w[2](0),
              C[z] = k[C]*w[2](1),
              M[C] = M[2](1)];

expand(subst(dimless,subst(params,subst(sol, reactForces))));

/* plot displacements */

fcts: [[ w [1](xi), w [2](xi)],
       [Phi[1](xi),Phi[2](xi)],
       [ M [1](xi), M [2](xi)],
       [ Q [1](xi), Q [2](xi)]];
facts: [1/l[Bez], l[1]/l[Bez], 1/(q[A]*l[1]^2), 1/(q[A]*l[1])];

textlabels : ["w(x)/(M[B]*l^2/EI[1])→", "w'(x)/(M[B]*l/EI[1])→", "M(x)/M[B]→", "Q(x)/(M[B]/l[1]→"];
for i: 1 thru 4 do(
  f : expand(subst(dimless,subst(params,facts[i]*[subst(sol, fcts[i][1]),
                                                  subst(sol, fcts[i][2])]))),
  r : subst(params,l[2]/l[1]),                                          
  preamble: if i<=2 then "set yrange [] reverse" else "set yrange []",
  plot2d([[parametric,     t, subst(t,xi,f[1]), [t,0,1]],
          [parametric, 1+r*t, subst(t,xi,f[2]), [t,0,1]]],
                             [legend, "sec. I", "sec. II"],
                             [gnuplot_preamble, preamble],
                             [xlabel, "x/l[1] ->"],
                             [ylabel, textlabels[i]]))$

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Links

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Literature

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