Gelöste Aufgaben/Kw99

Aufgabenstellung

Ein Stab ABC ist durch eine lineare veränderliche Streckenlast q mit den Eckwerten q_A in A und q_B in B sowie dem Moment M_B in B belastet. Der Stab (E-Modul: E) besteht aus zwei Sektionen mit den Längen l₁ bzw. l₂ sowie den Flächenmomenten I₁ bzw. I₂. Der Stab ist in A durch ein gelenkiges Festlager, in C durch eine Schiebehülse gelagert, in B sind die beiden Sektionen fest miteinander verbunden. Die Feder in A ist eine Drehfester mit Steifigkeit K_A, die Federn in B und C sind Translationsfedern mit den Steifigkeiten k_B, k_C.

Gesucht ist die analytische Lösung für den Euler-Bernoulli-Balken. Im Vergleich zu Kw98 wird hier eine Lösung mit normierten Koordinaten verfolgt.

Ermitteln Sie für ein Euler-Bernoulli-Modell die analytischen Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken für diese Parameter:

$\begin{array}{ll} {E I}_{2} & = \frac{{E I}_{1}}{2}, \\ K_{A} & = \frac{{E I}_{1}}{ℓ_{1}}, \\ k_{B} & = 0, \\ k_{C} & = \frac{{E I}_{1}}{ℓ_{1}^{3}}, \\ q_{B} & = 4 \cdot q_{A}, \\ ℓ_{2} & = \frac{ℓ_{1}}{2}, \\ M_{B} & = 5 \cdot ℓ_{1}^{2} \cdot q_{A} \end{array}$

Lösung mit Maxima

Die Aufgabe ist ein klassisches Randwertproblem:

zwei Gebiete, in denen ein Euler-Bernoulli-Balken in AB und BC durch eine Streckenlast q belastet ist (in Bereich II ist die Streckenlast allerdings Null) und somit durch die Differentialbeziehung
$E I_{i} w_{i}^{I V} (x_{i}) = q (x_{i}), i = {1, 2}$
berschrieben wird.
Rand- und Übergangsbedingungen in den Punkten A, B, C

Wir verwenden x_i und ξ_i als Koordinaten je Bereich, in der Übersicht sieht das Randwertproblem so aus:

Rand A	Bereich I	Übergang B	Bereich II	Rand C

Header

Diese Aufgabe wird mit der Methode der Finiten Elemente in KW96 gelöst. Und im Vergleich zu KW98 wird hier die analytische Lösung mit dimensionslosen Koordinaten angeschreiben.

/*******************************************************/
/* MAXIMA script                                       */
/* version: wxMaxima 15.08.2                           */
/* author: Andreas Baumgart                            */
/* last updated: 2017-09-06                            */
/* ref: TM-C, Labor 1 - dimensionslos                  */
/* description: die Auslenkung w und die unabhängige   */
/*              Ortskoordinate werden dim'los gemacht  */
/*******************************************************/

Declarations

Wir definieren die Formfunktionen für die Streckenlast

\begin{array}{l} ϕ_{0} (ξ) : = 1 - ξ \\ ϕ_{1} (ξ) : = ξ \end{array} mit ξ = \frac{x_{1}}{ℓ_{1}}

.

/* system parameter */
params: [EI[2]=EI[1]/2,
         K[A]=EI[1]/l[1],
         k[B]=0,
         k[C] = EI[1]/l[1]^3,
         q[B]=4*q[A],
         l[2]=l[1]/2,
         M[B] = 5*q[A]*l[1]^2];

/* form - functions  */
phi[0](xi) := 1 - xi;
phi[1](xi) :=     xi;

/* system parameter */ params: [EI[2]=EI[1]/2,

        K[A]=EI[1]/l[1],
        k[B]=0,
        k[C] = EI[1]/l[1]^3,
        q[B]=4*q[A],
        l[2]=l[1]/2,
        M[B] = 5*q[A]*l[1]^2];

/* form - functions */ phi[0](xi) := 1 - xi; phi[1](xi) := xi;

Formfunctions

Y

Für die 2*4 = 8 Integrationskonstanten

[C_{1, 0}, C_{1, 1}, C_{1, 2}, C_{1, 3}, C_{2, 0}, C_{2, 1}, C_{2, 2}, C_{2, 3}]

suchen wir jetzt die passenden Gleichungen aus Rand- und Übergangsbedingungen.

Zur besseren Übersicht nennen wir die Schnitt-Momente und -Kräfte nach den jeweiligen Knotenpunkten A, B, C und fügen als Index ein + / - hinzu, um die Seite (+: rechts vom Knoten, -: links vom Knoten) zu kennzeichnen.

Aus Rand "A"

	Geometrische Randbedingungen $w_{1} (0) = 0$ Kraft- und Momenten-Randbedingungen $K_{A} \cdot ϕ_{A} + M_{A, +} = 0 mit M_{A, +} = - E I_{1} \cdot w^{″} (x) \|_{x = 0}$

Aus Übergang "B"

	Geometrische Randbedingungen $w_{1} (ℓ_{1}) = w_{2} (ℓ_{1})$ $ϕ_{1} (ℓ_{1}) = ϕ_{2} (ℓ_{1})$ Kraft- und Momenten-Randbedingungen $- M_{B, -} - M_{B} + M_{B, +} = 0$ $- Q_{B, -} - k_{B} \cdot w_{B} + - Q_{B, +} = 0$

Aus Rand "C"

	Geometrische Randbedingungen $ϕ_{2} (ℓ_{2}) = 0$ Kraft- und Momenten-Randbedingungen $- Q_{C, -} - k_{C} \cdot w_{C} = 0$

Und das liefert das Gleichungssystem aus 8 Gleichungen

(\begin{matrix} \frac{C_{1, 0}}{{E I}_{1}} = 0 \\ \frac{C_{1, 1} \cdot K_{A}}{{E I}_{1}} - C_{1, 2} = 0 \\ \frac{ℓ_{1}^{4} \cdot q_{B}}{120 \cdot {E I}_{1}} + \frac{ℓ_{1}^{4} \cdot q_{A}}{30 \cdot {E I}_{1}} + \frac{ℓ_{1}^{3} \cdot C_{1, 3}}{6 \cdot {E I}_{1}} + \frac{ℓ_{1}^{2} \cdot C_{1, 2}}{2 \cdot {E I}_{1}} + \frac{ℓ_{1} \cdot C_{1, 1}}{{E I}_{1}} + \frac{C_{1, 0}}{{E I}_{1}} = \frac{C_{2, 0}}{{E I}_{2}} \\ \frac{ℓ_{1}^{3} \cdot q_{B}}{24 \cdot {E I}_{1}} + \frac{ℓ_{1}^{3} \cdot q_{A}}{8 \cdot {E I}_{1}} + \frac{ℓ_{1}^{2} \cdot C_{1, 3}}{2 \cdot {E I}_{1}} + \frac{ℓ_{1} \cdot C_{1, 2}}{{E I}_{1}} + \frac{C_{1, 1}}{{E I}_{1}} = \frac{C_{2, 1}}{{E I}_{2}} \\ \frac{ℓ_{1} \cdot q_{B}}{2} - \frac{C_{2, 0} \cdot k_{B}}{{E I}_{2}} + \frac{ℓ_{1} \cdot q_{A}}{2} - C_{2, 3} + C_{1, 3} = 0 \\ - M_{B} + \frac{ℓ_{1}^{2} \cdot q_{B}}{6} + \frac{ℓ_{1}^{2} \cdot q_{A}}{3} - C_{2, 2} + ℓ_{1} \cdot C_{1, 3} + C_{1, 2} = 0 \\ \frac{ℓ_{2}^{2} \cdot C_{2, 3}}{2 \cdot {E I}_{2}} + \frac{ℓ_{2} \cdot C_{2, 2}}{{E I}_{2}} + \frac{C_{2, 1}}{{E I}_{2}} = 0 \\ - \frac{ℓ_{2}^{3} \cdot C_{2, 3} \cdot k_{C}}{6 \cdot {E I}_{2}} - \frac{ℓ_{2}^{2} \cdot C_{2, 2} \cdot k_{C}}{2 \cdot {E I}_{2}} - \frac{ℓ_{2} \cdot C_{2, 1} \cdot k_{C}}{{E I}_{2}} - \frac{C_{2, 0} \cdot k_{C}}{{E I}_{2}} + C_{2, 3} = 0 \end{matrix})

für die Integrationskonstanten.

Boundary Conditions

1+1

Prepare for Solver

}}

<!-------------------------------------------------------------------------------->
Das Lösen des Gleichungssystems liefert

::<math>\begin{array}{l}  {{C}_{1,0}}=0,\\{{C}_{1,1}}=246.1 \; N {{m}^{2}},\\{{C}_{1,2}}=703.2\; N m,\\{{C}_{1,3}}=-2404.3\; N,\\{{C}_{2,0}}=127.6 \;  N m^3,\\{{C}_{2,1}}=224.7\;  N m^2,\\{{C}_{2,2}}=-979.8 \;  N m,\\{{C}_{2,3}}=2101.8 N \end{array}</math>.


{{MyCodeBlock|title=Solving
|text=
|code=
<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
1+1

Post-Processing

Und die Ergebnisse können wir uns anschauen ...

... für w(x):

... für Φ(x):

... für M(x):

... für Q(x):

... für die Lager-Reaktionskräfte:

\begin{array}{ll} A_{z} & = \frac{257 \cdot ℓ_{1} \cdot q_{A}}{1365}, \\ M_{A} & = \frac{1331 \cdot ℓ_{1}^{2} \cdot q_{A}}{1170}, \\ B_{z} & = 0, \\ C_{z} & = \frac{6311 \cdot ℓ_{1} \cdot q_{A}}{2730}, \\ M_{C} & = \frac{31037 \cdot ℓ_{1}^{2} \cdot q_{A}}{16380} \end{array}

/* bearing forces and moments */
reactForces: [A[z] = Q[1](0),
              M[A] = K[A]*Phi[1](0),
              B[z] = k[B]*w[2](0),
              C[z] = k[C]*w[2](1),
              M[C] = M[2](1)];

expand(subst(dimless,subst(params,subst(sol, reactForces))));

/* plot displacements */

fcts: [[ w [1](xi), w [2](xi)],
       [Phi[1](xi),Phi[2](xi)],
       [ M [1](xi), M [2](xi)],
       [ Q [1](xi), Q [2](xi)]];
facts: [1/l[Bez], l[1]/l[Bez], 1/(q[A]*l[1]^2), 1/(q[A]*l[1])];

textlabels : ["w(x)/(M[B]*l^2/EI[1])→", "w'(x)/(M[B]*l/EI[1])→", "M(x)/M[B]→", "Q(x)/(M[B]/l[1]→"];
for i: 1 thru 4 do(
  f : expand(subst(dimless,subst(params,facts[i]*[subst(sol, fcts[i][1]),
                                                  subst(sol, fcts[i][2])]))),
  r : subst(params,l[2]/l[1]),                                          
  preamble: if i<=2 then "set yrange [] reverse" else "set yrange []",
  plot2d([[parametric,     t, subst(t,xi,f[1]), [t,0,1]],
          [parametric, 1+r*t, subst(t,xi,f[2]), [t,0,1]]],
                             [legend, "sec. I", "sec. II"],
                             [gnuplot_preamble, preamble],
                             [xlabel, "x/l[1] ->"],
                             [ylabel, textlabels[i]]))$

Links

...

Literature

...

Gelöste Aufgaben/Kw99

Inhaltsverzeichnis

Aufgabenstellung

Lösung mit Maxima

Header

Declarations

Formfunctions

Aus Rand "A"

Aus Übergang "B"

Aus Rand "C"

Boundary Conditions

Prepare for Solver

Post-Processing

... für w(x):

... für Φ(x):

... für M(x):

... für Q(x):

... für die Lager-Reaktionskräfte:

Navigationsmenü

Gelöste Aufgaben/Kw99

Aufgabenstellung

Lösung mit Maxima

Header

Declarations

Formfunctions

Aus Rand "A"

Aus Übergang "B"

Aus Rand "C"

Boundary Conditions

Prepare for Solver

Post-Processing

... für w(x):

... für Φ(x):

... für M(x):

... für Q(x):

... für die Lager-Reaktionskräfte:

Navigationsmenü

Suche