Gelöste Aufgaben/Kw98

Aufgabenstellung

Ein Stab ABC ist durch eine lineare veränderliche Streckenlast q mit den Eckwerten q_A in A und q_B in B sowie dem Moment M_B in B belastet. Der Stab (E-Modul: E) besteht aus zwei Sektionen mit den Längen l₁ bzw. l₂ sowie den Flächenmomenten I₁ bzw. I₂. Der Stab ist in A durch ein gelenkiges Festlager, in C durch eine Schiebehülse gelagert, in B sind die beiden Sektionen fest miteinander verbunden. Die Feder in A ist eine Drehfester mit Steifigkeit K_A, die Federn in B und C sind Translationsfedern mit den Steifigkeiten k_B, k_C.

Gesucht ist die analytische Lösung für den Euler-Bernoulli-Balken.

Ermitteln Sie für ein Euler-Bernoulli-Modell die analytischen Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken für diese Parameter:

Lösung mit Maxima

Die Aufgabe ist ein klassisches Randwertproblem:

zwei Gebiete, in denen ein Euler-Bernoulli-Balken in AB und BC durch eine Streckenlast q belastet ist (in Bereich II ist die Streckenlast allerdings Null) und somit durch die Differentialbeziehung
$E I_{i} w_{i}^{I V} (x_{i}) = q (x_{i}), i = {1, 2}$
berschrieben wird.
Rand- und Übergangsbedingungen in den Punkten A, B, C

Wir verwenden x_i und ξ_i als Koordinaten je Bereich, in der Übersicht sieht das Randwertproblem so aus:

Rand A	Bereich I	Übergang B	Bereich II	Rand C

tmp

Diese Aufgabe mit der Methode der Finiten Elemente in KW96 gelöst.

Header

Text

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Declarations

Text

tmp

In Bereich I und II gilt dieselbe Bewegungs-Differentialgleichung

$E I_{i} w_{i}^{I V} (x_{i}) = q (x_{i}), i = {1, 2} mit q (x_{i}) = q_{0} \cdot ϕ_{0} (ξ) + q_{1} \cdot ϕ_{1} (ξ)$ ,

die wir durch Integration lösen und dann bereichsweise anpassen.

So gilt für Bereich II: q₀ = 0 und q₁ = 0.

Die allgemeine Lösung ist mit

$ϕ_{i} (x) = \frac{d w (x)}{d x}$

... für Bereich I:

$\begin{array}{l} w_{1} (x) : = \frac{120 \cdot l_{1} \cdot C_{1, 0} + 120 \cdot l_{1} \cdot C_{1, 1} \cdot x + 60 \cdot l_{1} \cdot C_{1, 2} \cdot x^{2} + 20 \cdot l_{1} \cdot C_{1, 3} \cdot x^{3} + 5 \cdot l_{1} \cdot x^{4} \cdot q_{A} + x^{5} \cdot (q_{B} - q_{A})}{120 \cdot l_{1} \cdot {E I}_{1}} \\ ϕ_{1} (x) : = \frac{120 \cdot l_{1} \cdot C_{1, 1} + 120 \cdot l_{1} \cdot C_{1, 2} \cdot x + 60 \cdot l_{1} \cdot C_{1, 3} \cdot x^{2} + 20 \cdot l_{1} \cdot x^{3} \cdot q_{A} + 5 \cdot x^{4} \cdot (q_{B} - q_{A})}{120 \cdot l_{1} \cdot {E I}_{1}} \\ M_{1} (x) : = - \frac{120 \cdot l_{1} \cdot C_{1, 2} + 120 \cdot l_{1} \cdot C_{1, 3} \cdot x + 60 \cdot l_{1} \cdot x^{2} \cdot q_{A} + 20 \cdot x^{3} \cdot (q_{B} - q_{A})}{120 \cdot l_{1}} \\ Q_{1} (x) : = - \frac{120 \cdot l_{1} \cdot C_{1, 3} + 120 \cdot l_{1} \cdot x \cdot q_{A} + 60 \cdot x^{2} \cdot (q_{B} - q_{A})}{120 \cdot l_{1}} \end{array}$

... für Bereich II:

$\begin{array}{l} w_{2} (x) : = \frac{120 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 0} + 120 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 1} \cdot x + 60 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 2} \cdot x^{2} + 20 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 3} \cdot x^{3}}{120 \cdot l_{2} \cdot {E I}_{2}} \\ ϕ_{2} (x) : = \frac{120 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 1} + 120 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 2} \cdot x + 60 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 3} \cdot x^{2}}{120 \cdot l_{2} \cdot {E I}_{2}} \\ M_{2} (x) : = - \frac{120 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 2} + 120 \cdot l_{2} \cdot C_{2, 3} \cdot x}{120 \cdot l_{2}} \\ Q_{2} (x) : = - C_{2, 3} \end{array}$

Formfunctions

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tmp

Für die 2*4 = 8 Integrationskonstanten

$[C_{1, 0}, C_{1, 1}, C_{1, 2}, C_{1, 3}, C_{2, 0}, C_{2, 1}, C_{2, 2}, C_{2, 3}]$

suchen wir jetzt die passenden Gleichungen aus Rand- und Übergangsbedingungen.

Zur besseren Übersicht nennen wir die Schnitt-Momente und -Kräfte nach den jeweiligen Knotenpunkten A, B, C und fügen als Index ein + / - hinzu, um die Seite (+: rechts vom Knoten, -: links vom Knoten) zu kennzeichnen.

Aus Rand "A"

	Geometrische Randbedingungen $w_{1} (0) = 0$ Kraft- und Momenten-Randbedingungen $K_{A} \cdot ϕ_{A} + M_{A, +} = 0 mit M_{A, +} = - E I_{1} \cdot w^{″} (x) \|_{x = 0}$

Aus Übergang "B"

	Geometrische Randbedingungen $w_{1} (ℓ_{1}) = w_{2} (ℓ_{1})$ $ϕ_{1} (ℓ_{1}) = ϕ_{2} (ℓ_{1})$ Kraft- und Momenten-Randbedingungen $- M_{B, -} - M_{B} + M_{B, +} = 0$ $- Q_{B, -} - k_{B} \cdot w_{B} + - Q_{B, +} = 0$

Aus Rand "C"

	Geometrische Randbedingungen $ϕ_{2} (ℓ_{2}) = 0$ Kraft- und Momenten-Randbedingungen $- Q_{C, -} - k_{C} \cdot w_{C} = 0$

Und das liefert das Gleichungssystem aus 8 Gleichungen

$(\begin{matrix} \frac{C_{1, 0}}{{E I}_{1}} = 0 \\ \frac{C_{1, 1} \cdot K_{A}}{{E I}_{1}} - C_{1, 2} = 0 \\ \frac{ℓ_{1}^{4} \cdot q_{B}}{120 \cdot {E I}_{1}} + \frac{ℓ_{1}^{4} \cdot q_{A}}{30 \cdot {E I}_{1}} + \frac{ℓ_{1}^{3} \cdot C_{1, 3}}{6 \cdot {E I}_{1}} + \frac{ℓ_{1}^{2} \cdot C_{1, 2}}{2 \cdot {E I}_{1}} + \frac{ℓ_{1} \cdot C_{1, 1}}{{E I}_{1}} + \frac{C_{1, 0}}{{E I}_{1}} = \frac{C_{2, 0}}{{E I}_{2}} \\ \frac{ℓ_{1}^{3} \cdot q_{B}}{24 \cdot {E I}_{1}} + \frac{ℓ_{1}^{3} \cdot q_{A}}{8 \cdot {E I}_{1}} + \frac{ℓ_{1}^{2} \cdot C_{1, 3}}{2 \cdot {E I}_{1}} + \frac{ℓ_{1} \cdot C_{1, 2}}{{E I}_{1}} + \frac{C_{1, 1}}{{E I}_{1}} = \frac{C_{2, 1}}{{E I}_{2}} \\ \frac{ℓ_{1} \cdot q_{B}}{2} - \frac{C_{2, 0} \cdot k_{B}}{{E I}_{2}} + \frac{ℓ_{1} \cdot q_{A}}{2} - C_{2, 3} + C_{1, 3} = 0 \\ - M_{B} + \frac{ℓ_{1}^{2} \cdot q_{B}}{6} + \frac{ℓ_{1}^{2} \cdot q_{A}}{3} - C_{2, 2} + ℓ_{1} \cdot C_{1, 3} + C_{1, 2} = 0 \\ \frac{ℓ_{2}^{2} \cdot C_{2, 3}}{2 \cdot {E I}_{2}} + \frac{ℓ_{2} \cdot C_{2, 2}}{{E I}_{2}} + \frac{C_{2, 1}}{{E I}_{2}} = 0 \\ - \frac{ℓ_{2}^{3} \cdot C_{2, 3} \cdot k_{C}}{6 \cdot {E I}_{2}} - \frac{ℓ_{2}^{2} \cdot C_{2, 2} \cdot k_{C}}{2 \cdot {E I}_{2}} - \frac{ℓ_{2} \cdot C_{2, 1} \cdot k_{C}}{{E I}_{2}} - \frac{C_{2, 0} \cdot k_{C}}{{E I}_{2}} + C_{2, 3} = 0 \end{matrix})$

für die Integrationskonstanten.

Boundary Conditions

Text

tmp

Das Gleichungssystem wollen wir als

$\underline{\underline{A}} \cdot \underline{x} = \underline{b}$

schreiben, also

$(\begin{matrix} \frac{1}{{E I}_{1}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{K_{A}}{{E I}_{1}} & - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{{E I}_{1}} & \frac{ℓ_{1}}{{E I}_{1}} & \frac{ℓ_{1}^{2}}{2 \cdot {E I}_{1}} & \frac{ℓ_{1}^{3}}{6 \cdot {E I}_{1}} & - \frac{1}{{E I}_{2}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{{E I}_{1}} & \frac{ℓ_{1}}{{E I}_{1}} & \frac{ℓ_{1}^{2}}{2 \cdot {E I}_{1}} & 0 & - \frac{1}{{E I}_{2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{k_{B}}{{E I}_{2}} & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & ℓ_{1} & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{{E I}_{2}} & \frac{ℓ_{2}}{{E I}_{2}} & \frac{ℓ_{2}^{2}}{2 \cdot {E I}_{2}} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - \frac{k_{C}}{{E I}_{2}} & - \frac{ℓ_{2} \cdot k_{C}}{{E I}_{2}} & - \frac{ℓ_{2}^{2} \cdot k_{C}}{2 \cdot {E I}_{2}} & - \frac{ℓ_{2}^{3} \cdot k_{C} - 6 \cdot {E I}_{2}}{6 \cdot {E I}_{2}} \end{matrix}) \cdot \underline{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - \frac{ℓ_{1}^{4} \cdot q_{B}}{120 \cdot {E I}_{1}} - \frac{ℓ_{1}^{4} \cdot q_{A}}{30 \cdot {E I}_{1}} \\ - \frac{ℓ_{1}^{3} \cdot q_{B}}{24 \cdot {E I}_{1}} - \frac{ℓ_{1}^{3} \cdot q_{A}}{8 \cdot {E I}_{1}} \\ - \frac{ℓ_{1} \cdot q_{B}}{2} - \frac{ℓ_{1} \cdot q_{A}}{2} \\ M_{B} - \frac{ℓ_{1}^{2} \cdot q_{B}}{6} - \frac{ℓ_{1}^{2} \cdot q_{A}}{3} \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$

Die Matrix-Elemente sind für die Koeffizientenmatrix

$\begin{array}{l} a_{1, 1} = 1 / E I_{1} \\ a_{2, 2} = K_{A} / E I_{1} \\ a_{2, 3} = - 1 \\ a_{3, 1} = 1 / E I_{1} \\ a_{3, 2} = ℓ_{1} / E I_{1} \\ a_{3, 3} = ℓ_{1}^{2} / (2 \cdot E I_{1}) \\ a_{3, 4} = ℓ_{1}^{3} / (6 \cdot E I_{1}) \\ a_{3, 5} = - 1 / E I_{2} \\ a_{4, 2} = 1 / E I_{1} \\ a_{4, 3} = ℓ_{1} / E I_{1} \\ a_{4, 4} = ℓ_{1}^{2} / (2 \cdot E I_{1}) \\ a_{4, 6} = - 1 / E I_{2} \\ a_{5, 4} = 1 \\ a_{5, 5} = - k_{B} / E I_{2} \\ a_{5, 8} = - 1 \\ a_{6, 3} = 1 \\ a_{6, 4} = ℓ_{1} \\ a_{6, 7} = - 1 \\ a_{7, 6} = 1 / E I_{2} \\ a_{7, 7} = ℓ_{2} / E I_{2} \\ a_{7, 8} = ℓ_{2}^{2} / (2 \cdot E I_{2}) \\ a_{8, 5} = - k_{C} / E I_{2} \\ a_{8, 6} = - (ℓ_{2} \cdot k_{C}) / E I_{2} \\ a_{8, 7} = - (ℓ_{2}^{2} \cdot k_{C}) / (2 \cdot E I_{2}) \\ a_{8, 8} = - (ℓ_{2}^{3} \cdot k_{C} - 6 \cdot E I_{2}) / (6 \cdot E I_{2}) \end{array}$

und für die rechte Seite

$\begin{array}{l} b_{1} = 0 \\ b_{2} = 0 \\ b_{3} = (- (ℓ_{1}^{4} \cdot q_{B}) / (120 \cdot E I_{1})) - (ℓ_{1}^{4} \cdot q_{A}) / (30 \cdot E I_{1}) \\ b_{4} = (- (ℓ_{1}^{3} \cdot q_{B}) / (24 \cdot E I_{1})) - (ℓ_{1}^{3} \cdot q_{A}) / (8 \cdot E I_{1}) \\ b_{5} = (- (ℓ_{1} \cdot q_{B}) / 2) - (ℓ_{1} \cdot q_{A}) / 2 \\ b_{6} = M_{B} - (ℓ_{1}^{2} \cdot q_{B}) / 6 - (ℓ_{1}^{2} \cdot q_{A}) / 3 \\ b_{7} = 0 \\ b_{8} = 0 \end{array}$

Prepare for Solver

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tmp

Das Lösen des Gleichungssystems liefert

$\begin{array}{l} C_{1, 0} = 0, \\ C_{1, 1} = 246.1 N m^{2}, \\ C_{1, 2} = 703.2 N m, \\ C_{1, 3} = - 2404.3 N, \\ C_{2, 0} = 127.6 N m^{3}, \\ C_{2, 1} = 224.7 N m^{2}, \\ C_{2, 2} = - 979.8 N m, \\ C_{2, 3} = 2101.8 N \end{array}$

Solving

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tmp

Und die Ergebnisse können wir uns anschauen ...

... für w(x):

... für Φ(x):

... für M(x):

... für Q(x):

Post-Processing

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Links

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