Gelöste Aufgaben/Kw96

Aufgabenstellung

Ein Stab ABC ist durch eine lineare veränderliche Streckenlast q mit den Eckwerten q_A in A und q_B in B sowie dem Moment M_B in B belastet. Der Stab (E-Modul: E) besteht aus zwei Sektionen mit den Längen l₁ bzw. l₂ sowie den Flächenmomenten I₁ bzw. I₂. Der Stab ist in A durch ein gelenkiges Festlager, in C durch eine Schiebehülse gelagert, in B sind die beiden Sektionen fest miteinander verbunden. Die Feder in A ist eine Drehfester mit Steifigkeit K_A, die Federn in B und C sind Translationsfedern mit den Steifigkeiten k_B, k_C.

Lageplan

Gesucht ist die FEM Lösung für den Euler-Bernoulli-Balken unter Verwendung von zwei Finiten Elementen.

Systemparameter

Ermitteln Sie für ein Euler-Bernoulli-Modell die analytischen Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken für die angegebenen Parameter:

tmp

Wir arbeiten mit den Standard-System-Matrizen nach Abschnitt "FEM-Formulierung für den Euler-Bernoulli-Balken".

Header

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tmp

System-Parameter sind:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{l} \displaystyle {{q}_{A}}=3000 \frac{N}{m},\\ \displaystyle {\ell_{1}}=\frac{7\cdot m}{10},\\ \displaystyle {{\mathit{EI}}_{1}}=33600 N {{m}^{2}},\\ \displaystyle {\ell_{2}}=\frac{21}{40} m,\\ \displaystyle {{\mathit{EI}}_{2}}=16800 N {{m}^{2}},\\ \displaystyle {{K}_{A}}=96000 N m,\\ \displaystyle {{k}_{C}}=\frac{256}{229}\cdot {{k}_{B}},\\ \displaystyle {{k}_{B}}=\frac{256}{229} N m,\\ \displaystyle {{q}_{B}}=12000\frac{N}{m},\\ \displaystyle {{M}_{B}}=1470 N m \end{array}}

Declarations

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tmp

Die Ansatzfunktion für die Trial-Functions ist ein Polynom 3. Grades:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{w}\left( \xi\right) :={{c}_{3}}\cdot {{\xi}^{3}}+{{c}_{2}}\cdot {{\xi}^{2}}+{{c}_{1}}\cdot \xi+{{c}_{0}}}

An den Rändern müssen die Auslenkung und Kippung mit den Knoten-Variablen übereinstimmen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{l} \displaystyle {{c}_{0}}={{W}_{i-1}},\\ \displaystyle \frac{{{c}_{1}}}{{{l}_{i}}}={{\Phi}_{i-1}},\\ \displaystyle {{c}_{3}}+{{c}_{2}}+{{c}_{1}}+{{c}_{0}}={{W}_{i}},\\ \displaystyle \frac{{{c}_{1}}+2\cdot {{c}_{2}}+3\cdot {{c}_{3}}}{{{l}_{i}}}={{\Phi}_{i}} \end{array}}

Trial-Functions

Damit ist die Ansatzfunktion des Finiten Elements mit den vier Knotenvariablen

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w(\xi)\;=\; \ell_i \cdot \Phi_i \cdot \left( \xi-1 \right) \cdot \xi^2+W_{i-1} \cdot \left( \xi-1\right) ^2 \cdot \left( 1+2 \cdot \xi\right)-W_i \cdot \xi^2 \cdot \left( 2\cdot \xi-3\right) +\Phi_{i-1} \cdot \ell_i \cdot \left( \xi-1\right) ^2 \cdot \xi}

Formfunctions

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tmp

So sind die Element-Steifigkeitsmatrix

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle \underline{\underline{K}}_i=\,\frac{EI_i}{\ell_i^3}\begin{pmatrix}12 & 6\cdot {{\ell}_{i}} & -12 & 6\cdot {{\ell}_{i}}\\ 6\cdot {{\ell}_{i}} & 4\cdot {{\ell}_{i}^{2}} & -6\cdot {{\ell}_{i}} & 2\cdot {{\ell}_{i}^{2}}\\ -12 & -6\cdot {{\ell}_{i}} & 12 & -6\cdot {{\ell}_{i}}\\ 6\cdot {{\ell}_{i}} & 2\cdot {{\ell}_{i}^{2}} & -6\cdot {{\ell}_{i}} & 4\cdot {{\ell}_{i}^{2}}\end{pmatrix}}

die Koordinaten des FE-Modells - hier für das Element "1":

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{Q}\,=\,\begin{pmatrix}{{\Phi}_{0}}\\ {{W}_{1}}\\ {{\Phi}_{1}}\\ {{W}_{2}}\end{pmatrix}} .

Wir komponieren daraus die System-Steifigkeitsmatrix - durch Aufaddieren der Beiträge der beiden Elemente und Einarbeiten der Randbedingugnen - zu

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{\underline{K}}_0 =\begin{pmatrix} {K_A}+\frac{4 {{\mathit{EI}}_1}}{{\ell_1}} & -\frac{6 {{\mathit{EI}}_1}}{{{\ell}_{1}^{2}}} & \frac{2 {{\mathit{EI}}_1}}{{\ell_1}} & 0\\ -\frac{6 {{\mathit{EI}}_1}}{{{\ell}_{1}^{2}}} & {k_B}+\frac{12 {{\mathit{EI}}_2}}{{{\ell}_{2}^{3}}}+\frac{12 {{\mathit{EI}}_1}}{{{\ell}_{1}^{3}}} & \frac{6 {{\mathit{EI}}_2}}{{{\ell}_{2}^{2}}}-\frac{6 {{\mathit{EI}}_1}}{{{\ell}_{1}^{2}}} & -\frac{12 {{\mathit{EI}}_2}}{{{\ell}_{2}^{3}}}\\ \frac{2 {{\mathit{EI}}_1}}{{\ell_1}} & \frac{6 {{\mathit{EI}}_2}}{{{\ell}_{2}^{2}}}-\frac{6 {{\mathit{EI}}_1}}{{{\ell}_{1}^{2}}} & \frac{4 {{\mathit{EI}}_2}}{{\ell_2}}+\frac{4 {{\mathit{EI}}_1}}{{\ell_1}} & -\frac{6 {{\mathit{EI}}_2}}{{{\ell}_{2}^{2}}}\\ 0 & -\frac{12 {{\mathit{EI}}_2}}{{{\ell}_{2}^{3}}} & -\frac{6 {{\mathit{EI}}_2}}{{{\ell}_{2}^{2}}} & {k_C}+\frac{12 {{\mathit{EI}}_2}}{{{\ell}_{2}^{3}}}\end{pmatrix}}

Wie das geht, steht in Abschnitt Finite Elemente Methode.

Equilibrium Conditions

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Die Knotenvariablen sind damit

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{ll}W_0 = 0& \\\Phi_0 = 0.00624& \\W_1 = 0.00657 m& \\\Phi_1 = 0.0123& \\W_2 = 0.00846 m& \\\Phi_2 = 0& \end{array}}

Solving

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Die Biegelinie des Balkens sieht damit so aus:

Post-Processing

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