Gelöste Aufgaben/Kit5

Aufgabenstellung

Bei diesem Randwertproblem wird ein Euler-Bernoulli-Balken (Elastizitätsmodul E, Flächenmoment 2-ten Grades I) mit einer Streckenlast q₀ im Bereich A-B belastet. In A  ist der Balken fest eingespannt, wobei durch eine Einbau-Ungenauigkeit der Rand im Verhältnis 1:10 geneigt ist.

In B hält das verschiebliche Lager den Balken horizontal. Gegen über Punkt A hält das Lager in B den Balken in einem vertikalen Abstand von W zur Horizontalen.

Datei:Datei:Kit5.png.png

Lageplan

Gesucht ist die Biegelinie des Balkens, der durch geometrische Randbedingungen vorverformt ist.

Lösung mit Maxima

In Kit4 finden Sie die Transformation der Bewegungsgleichung des Euler-Bernoulli-Balkens in die dimensionslose Form mit der allgemeinen Lösung

${\tilde{w}}_i\left(\xi \right):=\frac{\mu \cdot {\xi }^4}{24}+\frac{C_{i,3}\cdot {\xi }^3}{6}+\frac{C_{i,2}\cdot {\xi }^2}{2}+C_{i,1}\cdot \xi +C_{i,0}$

für die Bereiche i=1 (A-B) und i=2 (B-C).

Koordinaten

Dazu gehören die neuen dimensionslose Koordinaten ξ₁ und ξ₂:

Die Rand- und Übergangsbedingungen lauten dann mit ℓ₂ = ℓ₁/2

$\begin{array}{ccl}{\tilde{w}}_1(0)& =& 0\\ \tilde{w}{\text{'}}_1(0)& =& 1/10\end{array}$, $\begin{array}{ccl}{\tilde{w}}_1(1)& =& {\tilde{w}}_2(0)\\ \tilde{w}{\text{'}}_1(1)& =& \tilde{w}{\text{'}}_2(0)\\ {\tilde{w}}^{\prime }{\text{'}}_1(1)& =& {\tilde{w}}^{\prime }{\text{'}}_2(0)\\ {\tilde{w}}^{″}{\text{'}}_1(1)& =& {\tilde{w}}^{″}{\text{'}}_2(0)\end{array}$, $\begin{array}{ccl}{\tilde{w}}_1(1/2)& =& W\\ \tilde{w}{\text{'}}_2(1/2)& =& 0\end{array}$

tmp

Damit es einfacher wird, lassen Tilde über w weg. Die Bewegungsgleichung für beide Bereiche ist dann

$w^{⁗}(\xi )=\mu$

und deren allgemeine Lösung

$\begin{array}{l}{w}_1\left(\xi \right):=\frac{\mu \cdot {\xi }^4}{24}+\frac{C_{1,3}\cdot {\xi }^3}{6}+\frac{C_{1,2}\cdot {\xi }^2}{2}+C_{1,1}\cdot \xi +C_{1,0}\\ w_2\left(\xi \right):=\frac{C_{2,3}\cdot {\xi }^3}{6}+\frac{C_{2,2}\cdot {\xi }^2}{2}+C_{2,1}\cdot \xi +C_{2,0}\text{ (hier ist }\mu =0)\end{array}$

Lösen der dimensionslosen Bewegungsgleichung

Text

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tmp

Einsetzten der Lösung der Bewegungsgleichungen in die Randbedingungen liefert die Gleichungen

$\left(\begin{array}{c}{C}_{1,0}=0\\ C_{1,1}=\frac{1}{10}\\ \frac{\mu }{24}+\frac{C_{1,3}}{6}+\frac{C_{1,2}}{2}+C_{1,1}+C_{1,0}=C_{2,0}\\ \frac{\mu }{6}+\frac{C_{1,3}}{2}+C_{1,2}+C_{1,1}=C_{2,1}\\ \frac{\mu }{2}+C_{1,3}+C_{1,2}=C_{2,2}\\ \mu +C_{1,3}=C_{2,3}\\ \frac{C_{2,3}}{8}+\frac{C_{2,2}}{2}+C_{2,1}=0\\ \frac{C_{2,3}}{48}+\frac{C_{2,2}}{8}+\frac{C_{2,1}}{2}+C_{2,0}=1\end{array}\right)$

mit den Unbekannten

$\underset{\_}{x}=\left(\begin{array}{c}{C}_{1,0}\\ C_{1,1}\\ C_{1,2}\\ C_{1,3}\\ C_{2,0}\\ C_{2,1}\\ C_{2,2}\\ C_{2,3}\end{array}\right)$.

Formulation of Boundary Conditions

Text

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tmp

Das Gleichungssystem

$\underset{\_}{\underset{\_}{A}}\cdot \underset{\_}{x}=\underset{\_}{b}$

hat dabei die Koeffizientenmatrix

$\underset{\_}{\underset{\_}{A}}=\left(\begin{array}{cccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& \frac{1}{2}& \frac{1}{6}& -1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 1& \frac{1}{2}& 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1& 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& -1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& \frac{1}{2}& \frac{1}{8}\\ 0& 0& 0& 0& 1& \frac{1}{2}& \frac{1}{8}& \frac{1}{48}\end{array}\right)$

sowie die rechte Seite

$\underset{\_}{b}=\left(\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{10}\\ -\frac{\mu }{24}\\ -\frac{\mu }{6}\\ -\frac{\mu }{2}\\ -\mu \\ 0\\ 1\end{array}\right)$

The Equations of Motion

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tmp

Wir erhalten

$[C_{1,0}=0,C_{1,1}=\frac{1}{10},C_{1,2}=\frac{72+5\cdot \mu }{30},C_{1,3}=-\frac{444+95\cdot \mu }{135},C_{2,0}=\frac{2436+25\cdot \mu }{3240},C_{2,1}=-\frac{5\cdot \mu -231}{270},C_{2,2}=-\frac{24+\mu }{27},C_{2,3}=\frac{40\cdot \mu -444}{135}]$.===Solving=== Text

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tmp

w(x)

Die Lösung plotten wir, z.B. für die Streckenlast μ=100:

Die dimensionslose Auslenkung ist jetzt etwas größer als "1" - Sie müssen sich also jetzt überlegen, ob Ihre Theorie noch gültig ist!

Post-Processing

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