Gelöste Aufgaben/Hko8

Aufgabenstellung

Lageplan

Drei Stäbe 1, 2 und 3 werden in Punkt A verbunden. Aufgrund einer Fertigungstoleranz ist Stab 3 um zu kurz. Gesucht ist die Verschiebung des Punktes A nach dem Einhängen von Stab 3 sowie die Spannungen in den Stäben. Die drei Stäbe haben die Querschnittsfächen

$A_1;A_2=2A_1,A_3=A_1$

und die Abmessungen

$h,\mathrm{\Delta },\alpha =30^{\circ }$

Alle Stäbe sind aus dem gleichen Material mit E-Modul E:

Lösung mit Maxima

... nach dem Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie:

• "Das System ist im Gleichgewicht, wenn die Potentielle Energie des Systems ein Minimum hat."

tmp

Header

Wir arbeiten mit wxMaxima 15.08.2.

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/*******************************************************/
/* MAXIMA script                                       */
/* version: wxMaxima 15.08.2                           */
/* author: Andreas Baumgart                            */
/* last updated: 2017-02-28                            */
/* ref: Mathe 2                                        */
/* description: Dehnstäbe verspannt eingebaut          */
/*                                                     */
/*******************************************************/

tmp

$a=\tan \left(\alpha \right)\cdot h,\alpha =\frac{\pi }{6},A_3=A_1,A_2=2\cdot A_1$

Declarations

Parameter

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tmp

Freischnitt: Knoten A

Aus dem Satz des Pythagoras kommt:

$\begin{array}{l}{({\mathrm{\Delta }}_1+l_1)}^2={(h-v)}^2+{(a-u)}^2\\ {({\mathrm{\Delta }}_3+l_3)}^2={(h-\mathrm{\Delta }-v)}^2+u^2\\ {({\mathrm{\Delta }}_2+l_2)}^2={(h-v)}^2+{(a+u)}^2\end{array}$

Kinematics

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Die Stab-Längung linearisieren wir bezüglich der Koordinaten u, v und erhalten

Dehnungen:

${\epsilon }_1=-\frac{\sqrt{3}\cdot (u+\sqrt{3}\cdot v)}{4\cdot h},{\epsilon }_2=\frac{\sqrt{3}\cdot (u-\sqrt{3}\cdot v)}{4\cdot h},{\epsilon }_3=\frac{-v+\mathrm{\Delta }+\text{...}}{h-\mathrm{\Delta }}$

Spannungen:

${\sigma }_1=-\frac{\sqrt{3}\cdot (u+\sqrt{3}\cdot v)\cdot E}{4\cdot h},{\sigma }_2=\frac{\sqrt{3}\cdot (u-\sqrt{3}\cdot v)\cdot E}{4\cdot h},{\sigma }_3=\frac{(-v+\mathrm{\Delta }+\text{...})\cdot E}{h-\mathrm{\Delta }}$

tmp

Linearize for small deflections

Text

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tmp

U hat ein Minimum (Extremwert), wenn

$\frac{dU}{du}\stackrel{!}{=}0\text{ und }\frac{dU}{dv}\stackrel{!}{=}0$

wobei die Potentielle Energie im System

$U=\sum _{i=1}^3{U}_i\text{ mit }{U}_i=\underset{{\ell }_i}{\int }\frac{1}{2}{\sigma }_i\cdot {\epsilon }_{i}dx$

ist und damit

$U=\frac{\sqrt{3}\cdot A_1\cdot {(u+\sqrt{3}\cdot v)}^2\cdot E}{8\cdot h}+\frac{\sqrt{3}\cdot A_1\cdot {(u-\sqrt{3}\cdot v)}^2\cdot E}{4\cdot h}+\frac{A_1\cdot {(-v+\mathrm{\Delta }+\text{...})}^2\cdot E}{h}$.===Equilibrium Conditions=== Text

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Auflösen des Gleichungssystems liefert:

$\begin{array}{l}u=-\frac{\sqrt{3}-3}{6}\cdot \mathrm{\Delta },\\ v=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\cdot \mathrm{\Delta }\end{array}$

Die Stab-Kräfte erhalten wir entsprechend zu

$\begin{array}{l}{S}_1=-\frac{(\sqrt{3}-1)\cdot A_1\cdot E}{2\cdot h}\cdot \mathrm{\Delta },\\ S_2=-\frac{(\sqrt{3}-1)\cdot A_1\cdot E}{2\cdot h}\cdot \mathrm{\Delta },\\ S_3=-\frac{(\sqrt{3}-3)\cdot A_1\cdot E}{2\cdot h}\cdot \mathrm{\Delta }\end{array}$.===Solving=== Text

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Das Potential können wir über u,v plotten - die Gleichgewichtsbeziehung ist im Minimum der Fläche.

tmp

Potential U(u,v).

Post-Processing

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