Gelöste Aufgaben/DGEC

Aufgabenstellung

Wie sich die Balkenmodell von Euler-Bernoulli und Timoshenko in Ihrem Modellverhalten unterscheiden, untersuchen wir hier.

Lageplan

Ein Balken AB (Länge ℓ, Rechteck-Querschnitt h*b, Elastizitäts-Module E) ist in A fest eingespannt und in B durch eine Parallelführung gelagert.

In B wird er durch eine senkrechte Kraft F belastet.

Wir vergleichen die Auslenkung in B nach den Balken-Modellen von

• Euler-Bernoulli und
• Timoshenko

Der Balken-Querschnitt sei rechteckig mit den Abmessungen h, b:

Hier gelte für den Querschnitt h=b.

Lösung mit Maxima

Lorem Ipsum ....

tmp

Wir suchen Näherungslösungen für die Verschiebung des Punktes B mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen auf Basis der Bewegungsgleichungen aus DGEB. Dazu setzen wir einmal die Verschiebung und Verdrehung der Querschnitte jeweils nach dem Modell des

• Timoshenko-Balkens und
• Euler-Bernoulli-Balkens

an.===Header=== Text

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tmp

$\displaystyle G={\frac {E}{2\left(\nu +1\right)}},\nu ={\frac {3}{10}},A={{h}^{2}},I={\frac {{h}^{4}}{12}}$

Parameter

Parameter sind

${\displaystyle }$

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tmp

Wir wählen als Trial-Functions für die Auslenkung w und die Verdrehung ϕ des Timoshenko-Balkens:

${\begin{array}{ll}w(x)&=W\cdot (3\,\xi ^{2}-2\,\xi ^{3}),\\\phi (x)&=\Phi \cdot 4\,\xi \,(1-\xi )\end{array}}$ .

Beim Euler-Bernoulli-Balken ist

$\phi (x)=w')(x)$

fest "eingebaut" - wir brauchen keine Trial-Funktion für ϕ.

Und so sehen die beiden Trial-Funtions aus:===Trial-Functions=== Text

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tmp

Mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen lautet die Gleichgewichtsbedingung

${\begin{array}{ll}\delta W&=\delta W^{a}-\delta \Pi \\&{\stackrel {!}{=}}0\end{array}}$.

Aus DGEB wissen wir für die Virtuelle Formänderungsenergie

... für den Timoshenko-Balken	... für den Euler-Bernoulli-Balken
${\begin{array}{lcl}\delta \Pi =&\displaystyle \int _{0}^{\ell }&\displaystyle {\frac {1}{4}}G\,A\,(w'-\phi )\cdot (\delta w'-\delta \phi )\\&+&E\,I\,\phi '\,\delta \phi '\;dx\end{array}}$	$\displaystyle \delta \Pi =\int _{0}^{\ell }EI\,w''\,\delta w''\;dx$

Und die virtuelle Arbeit der äußeren Kraft F ist

$\delta W^{a}=F\;\delta W$===Equilibrium-Conditions=== Text

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tmp

Aus den Gleichgewichtsbedingungen erhalten wir die Gleichungen von

• W und Φ für den Timoshenko-Balken und
• W für den Euler-Bernoulli-Balken.

Timoshenko	Euler-Bernoulli
${\begin{array}{ll}\displaystyle {\frac {3\,GA}{10\,\ell }}\cdot W-{\frac {GA}{5}}\cdot \Phi &=F,\\\displaystyle \left({\frac {2\,GA\,\ell }{15}}+{\frac {16\,EI}{3\ell }}\right)\cdot \Phi -{\frac {GA}{5}}\cdot W&=0\end{array}}$	$\displaystyle {\frac {12\,EI}{{\ell }^{3}}}\,W=F$
mit der Lösung
$\displaystyle W={\frac {GA\,{{\ell }^{3}}+40\,EI\,\ell }{12\,EI\,GA}}\,F,\;\;\Phi ={\frac {{\ell }^{2}}{8\,EI}}\,F$	$\displaystyle W={\frac {{\ell }^{3}}{12\,EI}}\,F$

Solving

Text

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tmp

Einsetzen der Parameter liefert die Verschiebung des Punkte

$\displaystyle {\tilde {W}}={\frac {W}{\displaystyle {\frac {\ell ^{3}\,F}{E\,h^{4}}}}}{\text{ für }}\alpha ={\frac {h}{\ell }}:$:

Wir sehen: für schlanke Balken bis α<0.2 können wir getrost mit der Euler-Bernoulli-Hypothese arbeiten - für "stäbigere" Balken brauchen wir mindestens das Timoshenko-Modell.===Post-Processing=== Text

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