Gelöste Aufgaben/DGEC

Aufgabenstellung

Wie sich die Balkenmodell von Euler-Bernoulli und Timoshenko in Ihrem Modellverhalten unterscheiden, untersuchen wir hier.

Lageplan

Ein Balken AB (Länge ℓ, Rechteck-Querschnitt h*b, Elastizitäts-Module E) ist in A fest eingespannt und in B durch eine Parallelführung gelagert.

In B wird er durch eine senkrechte Kraft F belastet.

Wir vergleichen die Auslenkung in B nach den Balken-Modellen von

• Euler-Bernoulli und
• Timoshenko

Der Balken-Querschnitt sei rechteckig mit den Abmessungen h, b:

Hier gelte für den Querschnitt h=b.

Lösung mit Maxima

Lorem Ipsum ....

tmp

Wir suchen Näherungslösungen für die Verschiebung des Punktes B mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen auf Basis der Bewegungsgleichungen aus DGEB. Dazu setzen wir einmal die Verschiebung und Verdrehung der Querschnitte jeweils nach dem Modell des

• Timoshenko-Balkens und
• Euler-Bernoulli-Balkens

an.===Header=== Text

1+1

tmp

$G=\frac{E}{2(\nu +1)},\nu =\frac{3}{10},A=h^2,I=\frac{h^4}{12}$

Parameter

Parameter sind

${\displaystyle }$

1+1

tmp

Wir wählen als Trial-Functions für die Auslenkung w und die Verdrehung ϕ des Timoshenko-Balkens:

$\begin{array}{ll}w(x)& =W\cdot (3{\xi }^2-2{\xi }^3),\\ \varphi (x)& =\mathrm{\Phi }\cdot 4\xi (1-\xi )\end{array}$ .

Beim Euler-Bernoulli-Balken ist

$\varphi (x)=w^{\prime })(x)$

fest "eingebaut" - wir brauchen keine Trial-Funktion für ϕ.

Und so sehen die beiden Trial-Funtions aus:===Trial-Functions=== Text

1+1

tmp

Mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen lautet die Gleichgewichtsbedingung

$\begin{array}{ll}\delta W& =\delta W^a-\delta \mathrm{\Pi }\\ & \stackrel{!}{=}0\end{array}$.

Aus DGEB wissen wir für die Virtuelle Formänderungsenergie

... für den Timoshenko-Balken	... für den Euler-Bernoulli-Balken
$\begin{array}{lcl}\delta \mathrm{\Pi }=& \underset{0}{\overset{\ell }{\int }}& \frac{1}{4}GA(w^{\prime }-\varphi )\cdot (\delta w^{\prime }-\delta \varphi )\\ & +& EI{\varphi }^{\prime }\delta {\varphi }^{\prime }dx\end{array}$	$\delta \mathrm{\Pi }=\underset{0}{\overset{\ell }{\int }}EI{w}^{″}\delta w^{″}dx$

Und die virtuelle Arbeit der äußeren Kraft F ist

$\delta W^a=F\delta W$===Equilibrium-Conditions=== Text

1+1

tmp

Aus den Gleichgewichtsbedingungen erhalten wir die Gleichungen von

• W und Φ für den Timoshenko-Balken und
• W für den Euler-Bernoulli-Balken.

Timoshenko	Euler-Bernoulli
$\begin{array}{ll}\frac{3GA}{10\ell }\cdot W-\frac{GA}{5}\cdot \mathrm{\Phi }& =F,\\ (\frac{2GA\ell }{15}+\frac{16EI}{3\ell })\cdot \mathrm{\Phi }-\frac{GA}{5}\cdot W& =0\end{array}$	$\frac{12EI}{{\ell }^3}W=F$
mit der Lösung
$W=\frac{GA{\ell }^3+40EI\ell }{12EIGA}F,\mathrm{\Phi }=\frac{{\ell }^2}{8EI}F$	$W=\frac{{\ell }^3}{12EI}F$

Solving

Text

1+1

tmp

Einsetzen der Parameter liefert die Verschiebung des Punkte

$\tilde{W}=\frac{W}{\frac{{\ell }^{3}F}{E{h}^4}}\text{ für }\alpha =\frac{h}{\ell }:$:

Wir sehen: für schlanke Balken bis α<0.2 können wir getrost mit der Euler-Bernoulli-Hypothese arbeiten - für "stäbigere" Balken brauchen wir mindestens das Timoshenko-Modell.===Post-Processing=== Text

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