Anfangswertprobleme/Methoden zur Lösung von Anfangswertproblemen/Runge-Kutta-Verfahren 4.ter Ordnung

Das Runge-Kutta Verfarhen schreibt die Lösung über ein Intervall fort, indem die Information von vielen Euler-Schritten zu einem Zeitschritt verknüpft werden. Die Information aus den einzelnen Euler-Schritte wird dabei in eine Taylor-Reihe - hier 4.ter Ordnung - entwicklet.

Zur Berechnung der Δq_i's setzen wir also an:

\begin{array}{llll} Δ q_{1} & = Δ t \cdot f (q_{i} & , t_{i} & ) \\ Δ q_{2} & = Δ t \cdot f (q_{i} + \frac{1}{2} \cdot Δ q_{1} & , t_{i} + \frac{1}{2} \cdot Δ t & ) \\ Δ q_{3} & = Δ t \cdot f (q_{i} + \frac{1}{2} \cdot Δ q_{2} & , t_{i} + \frac{1}{2} \cdot Δ t & ) \\ Δ q_{4} & = Δ t \cdot f (q_{i} + Δ q_{3} & , t_{i} + Δ t & ) \end{array}

Und den neuen Funktionswert erhalten wir aus

\begin{array}{ll} q_{i + 1} & = q_{i} + Δ q_{0} \\ = q_{0} + (\frac{1}{6} \cdot Δ q_{1} + \frac{1}{3} \cdot Δ q_{2} + \frac{1}{3} \cdot Δ q_{3} + \frac{1}{6} \cdot Δ q_{4}) \end{array}

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Anfangswertprobleme/Methoden zur Lösung von Anfangswertproblemen/Runge-Kutta-Verfahren 4.ter Ordnung

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