Gelöste Aufgaben/T3BP

Aufgabenstellung

Sie untersuchen das „Three-Body-Problem“(vgl. Wikipedia) numerisch. Dabei sollen die Bahnen von drei Körper mit den Punktmassen m₁, m₂, m₃ in Wechselwirkung miteinander berechnet werden.

"Die Drei Sonnen"

Gesucht ist die Lösung des Anfangswertproblems für verschiedene Anfangswerte (Orte und Geschwindigkeiten) und Massen m_i der Körper.

Lösung mit Matlab®

Lorem Ipsum ....

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Declarations

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Equilibrium Conditions

Die Bewegungsgleichungen schreiben wir in Vektorschreibweise für Körper i als

$m_{i}{\dot {\ddot {\vec {u}}}}_{i}=\sum _{\ell =j,k}G\cdot {\frac {\displaystyle m_{i}\cdot m_{\ell }}{\displaystyle r_{i,\ell }^{2}}}{\dot {\vec {e}}}_{i,\ell }{\text{ mit }}{\vec {u}}_{i}=\left({\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z}\right)\cdot \underbrace {\left({\begin{array}{l}u_{x}\\u_{y}\\u_{z}\end{array}}\right)} _{\displaystyle ={\underline {u}}_{i}}$.

Dabei ist z.B. i=1 und $\ell$=2,3.

Die drei Bewegungsgleichungen in den drei räumlichen Koordinaten u_i formulieren wir in dimensionslosen Koordinaten. Dafür brauchen wir drei unabhängige Referenzgrößen, hier wählen wir

${\begin{array}{lcll}M&=&m_{1}&{\text{ Referenz-Masse}}\\L&=&1.610^{11}{\text{km}}&{\text{ Referenz-Länge: der Durchmesser unseres Sonnensystems und}}\\F&=&G\cdot {\frac {\displaystyle m_{1}\cdot m_{1}}{\displaystyle L^{2}}}&{\text{Referenz-Kraft}}\end{array}}.$

Und fehlt noch die Referent-Zeit T, die wir aus

$F={\frac {\displaystyle m_{1}\cdot L}{\displaystyle T^{2}}}{\text{ zu }}T={\sqrt {\frac {\displaystyle m_{1}\cdot L}{\displaystyle F}}}$

erhalten.

Damit können wir schreiben:

${\begin{array}{lcll}t&=&\tau \cdot T&{\text{ mit der dimensionslosen Zeit }}\tau \\m_{i}&=&\theta _{i}\cdot m_{1}&{\text{ mit der dimensionslosen Masse }}\theta _{i}\\{\underline {u}}_{i}(t)&=&L\cdot {\underline {U}}_{i}(\tau )&{\text{ mit den dimensionslose Koordinaten }}U_{i}{\text{ und}}\\r_{i,j}&=&L\cdot \varrho _{i,j}&{\text{ mit dem dimensionslosen Abstand zweier Körper }}\varrho _{i,j}\end{array}}.$

Einsetzen und Kürzen liefert uns dann die dimensionslosen Bewegungsgleichungen

${\ddot {\underline {U}}}_{i}=\sum _{\ell =j,k}{\frac {\displaystyle \theta _{\ell }}{\displaystyle varrho_{i,\ell }^{2}}}{\dot {\underline {e}}}_{i,\ell }$.

function dydt = t3bpdydt(t,y,sys)
% implementation of ode
% params hold system parameters
% get coordinates
for body = 1:3
    u(body,1:3) = transpose(y(3*(body-1)+1:3*body,1));
end

r = zeros(3,3,3);
e = zeros(3,3,3);

% compose vectors, unit vectors and distances
r(1,2,:) = u(2,:)-u(1,:); % this from m[1] to m[2]
R(1,2)   = sqrt(sum(r(1,2,:).^2)); % magnitude of vector
e(1,2,:) = r(1,2,:)/R(1,2);        % unit vector length
r(2,1,:) = -r(1,2,:);     % .. and back
e(2,1,:) = -e(1,2,:);
R(2,1)   = R(1,2);

r(1,3,:) = u(3,:)-u(1,:); % this from m[1] to m[2]
R(1,3)   = sqrt(sum(r(1,3,:).^2));
e(1,2,:) = r(1,2,:)/R(1,2);        % unit vector length
r(3,1,:) = -r(1,3,:);     % .. and back
e(3,1,:) = -e(1,3,:);
R(3,1)   = R(1,3);

r(2,3,:) = u(3,:)-u(2,:); % this from m[1] to m[2]
R(2,3)   = sqrt(sum(r(2,3,:).^2));
e(2,3,:) = r(2,3,:)/R(2,3);        % unit vector length
r(3,2,:) = -r(2,3,:);     % .. and back
e(3,2,:) = -e(2,3,:);
R(3,2)   = R(2,3);

%% accelerations
% mass 1
dydt(9+1:9+3,1)=sys.theta(2)/R(1,2)*e(1,2,:)+sys.theta(3)/R(1,3)*e(1,3,:);
% mass 2
dydt(9+4:9+6,1)=sys.theta(1)/R(2,1)*e(2,1,:)+sys.theta(3)/R(2,3)*e(2,3,:);
% mass 3
dydt(9+7:9+9,1)=sys.theta(1)/R(3,1)*e(3,1,:)+sys.theta(2)/R(3,2)*e(3,2,:);

%% velocities
dydt(1:9,1) = y(10:18,1);

%%
waitbar(t / sys.tEnd);

end

Solving

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Post-Processing

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Trajektoren der Körper

Bewegungsgrößen Σ M_i I_i,x

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Animation der Bewegung

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