Gelöste Aufgaben/T3BP

Aufgabenstellung

Sie untersuchen das „Three-Body-Problem“(vgl. Wikipedia) numerisch. Dabei sollen die Bahnen von drei Körper mit den Punktmassen m₁, m₂, m₃ in Wechselwirkung miteinander berechnet werden.

"Die Drei Sonnen"

Gesucht ist die Lösung des Anfangswertproblems für verschiedene Anfangswerte (Orte und Geschwindigkeiten) und Massen m_i der Körper.

Lösung mit Matlab®

Lorem Ipsum ....

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Declarations

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Equilibrium Conditions

Die Bewegungsgleichungen schreiben wir in Vektorschreibweise für Körper i als

$m_i{\dot{\ddot{\overrightarrow{u}}}}_i=\sum _{\ell =j,k}G\cdot \frac{m_i\cdot m_{\ell }}{r_{i,\ell }^2}{\dot{\overrightarrow{e}}}_{i,\ell }\text{ mit }{\overrightarrow{u}}_i=({\overrightarrow{e}}_x,{\overrightarrow{e}}_y,{\overrightarrow{e}}_z)\cdot \underset{={\underset{\_}{u}}_i}{\underbrace{\left(\begin{array}{l}{u}_x\\ u_y\\ u_z\end{array}\right)}}$.

Dabei ist z.B. i=1 und $\ell$=2,3.

Die drei Bewegungsgleichungen in den drei räumlichen Koordinaten u_i formulieren wir in dimensionslosen Koordinaten. Dafür brauchen wir drei unabhängige Referenzgrößen, hier wählen wir

$\begin{array}{lcll}M& =& m_1& \text{ Referenz-Masse}\\ L& =& 1.610^{11}\text{km}& \text{ Referenz-Länge: der Durchmesser unseres Sonnensystems und}\\ F& =& G\cdot \frac{m_1\cdot m_1}{L^2}& \text{Referenz-Kraft}\end{array}.$

Und fehlt noch die Referent-Zeit T, die wir aus

$F=\frac{m_1\cdot L}{T^2}\text{ zu }T=\sqrt{\frac{m_1\cdot L}{F}}$

erhalten.

Damit können wir schreiben:

$\begin{array}{lcll}t& =& \tau \cdot T& \text{ mit der dimensionslosen Zeit }\tau \\ m_i& =& {\theta }_i\cdot m_1& \text{ mit der dimensionslosen Masse }{\theta }_i\\ {\underset{\_}{u}}_i(t)& =& L\cdot {\underset{\_}{U}}_i(\tau )& \text{ mit den dimensionslose Koordinaten }{U}_i\text{ und}\\ r_{i,j}& =& L\cdot {\varrho }_{i,j}& \text{ mit dem dimensionslosen Abstand zweier Körper }{\varrho }_{i,j}\end{array}.$

Einsetzen und Kürzen liefert uns dann die dimensionslosen Bewegungsgleichungen

${\ddot{\underset{\_}{U}}}_i=\sum _{\ell =j,k}\frac{{\theta }_{\ell }}{varrh{o}_{i,\ell }^2}{\dot{\underset{\_}{e}}}_{i,\ell }$.

function dydt = t3bpdydt(t,y,sys)
% implementation of ode
% params hold system parameters
% get coordinates
for body = 1:3
    u(body,1:3) = transpose(y(3*(body-1)+1:3*body,1));
end

r = zeros(3,3,3);
e = zeros(3,3,3);

% compose vectors, unit vectors and distances
r(1,2,:) = u(2,:)-u(1,:); % this from m[1] to m[2]
R(1,2)   = sqrt(sum(r(1,2,:).^2)); % magnitude of vector
e(1,2,:) = r(1,2,:)/R(1,2);        % unit vector length
r(2,1,:) = -r(1,2,:);     % .. and back
e(2,1,:) = -e(1,2,:);
R(2,1)   = R(1,2);

r(1,3,:) = u(3,:)-u(1,:); % this from m[1] to m[2]
R(1,3)   = sqrt(sum(r(1,3,:).^2));
e(1,2,:) = r(1,2,:)/R(1,2);        % unit vector length
r(3,1,:) = -r(1,3,:);     % .. and back
e(3,1,:) = -e(1,3,:);
R(3,1)   = R(1,3);

r(2,3,:) = u(3,:)-u(2,:); % this from m[1] to m[2]
R(2,3)   = sqrt(sum(r(2,3,:).^2));
e(2,3,:) = r(2,3,:)/R(2,3);        % unit vector length
r(3,2,:) = -r(2,3,:);     % .. and back
e(3,2,:) = -e(2,3,:);
R(3,2)   = R(2,3);

%% accelerations
% mass 1
dydt(9+1:9+3,1)=sys.theta(2)/R(1,2)*e(1,2,:)+sys.theta(3)/R(1,3)*e(1,3,:);
% mass 2
dydt(9+4:9+6,1)=sys.theta(1)/R(2,1)*e(2,1,:)+sys.theta(3)/R(2,3)*e(2,3,:);
% mass 3
dydt(9+7:9+9,1)=sys.theta(1)/R(3,1)*e(3,1,:)+sys.theta(2)/R(3,2)*e(3,2,:);

%% velocities
dydt(1:9,1) = y(10:18,1);

%%
waitbar(t / sys.tEnd);

end

Solving

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Post-Processing

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Trajektoren der Körper

Bewegungsgrößen Σ M_i I_i,x

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Animation der Bewegung

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