Sources/Lexikon/Modalanalyse

Die Eigenfrequenzen und deren Eigenschwingungsformen reichen meist vollständig aus, um das charakteristische Verhalten von schwingungsfähigen, linearen  Systemen zu erfassen. Eine Stimmgabel z.B. schwingt hauptsächlich mit 440 Hz - dem Kammerton "a" - und dient damit als Referenz beim Stimmen von Musikinstrumenten. Musikinstrumente, Getriebe und die Oberfläche von Flugzeug-Triebwerken haben ähnliche Schwingungs-Charakteristika, die maßgeblich Ihre strukturellen Belastungen und Schall-Emission steuern.

Eigenwert und Eigenform

Die Modalanalyse ist ein mathematisches Werkzeug zur Schwingungsanalyse, zur Ermittlung der charakteristischen modalen Parameter

• Eigenfrequenz und
• Eigenschwingungsform.

Ausgangspunkt sind meist N lineare Bewegungsgleichungen 2-ter Ordnung eines technischen Systems der Mechanik. Wir schreiben Sie in Matrix-Form

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{\underline{M}} \cdot \underline{\ddot{Q}} + \underline{\underline{B}} \cdot \underline{\dot{Q}} + \underline{\underline{K}} \cdot \underline{Q} = \underline{P}(t)}

mit

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{Q}(t) = \left(\begin{array}{c}q_1(t)\\q_1(t)\\\vdots\\q_N(t)\\\end{array}\right)} .

Die Modalanalyse liefert nun den Anteil der Lösung der homogenen Bewegungsgleichung, also von  

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{\underline{M}} \cdot \underline{\ddot{Q}} + \underline{\underline{B}} \cdot \underline{\dot{Q}} + \underline{\underline{K}} \cdot \underline{Q} = \underline{0}}

mit dem Ansatz

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{Q}(t) = \hat{\underline{Q}} \cdot e^{\displaystyle \lambda\cdot t}} .

Nach dem Einsetzen und Herauskürzen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e^{\lambda t}}  aus der Bewegungsgleichung taucht die Zeit t nicht mehr in dem homogenen Gleichungssystem auf:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underbrace{\left( \lambda^2\;\underline{\underline{M}} + \lambda\;\underline{\underline{B}} + \underline{\underline{K}}\right)}_{=:\displaystyle \underline{\underline{A}}(\lambda)} \cdot \underline{\hat{Q}} = \underline{0}} .

Aus dem System von Bewegungsdifferentialgleichungen ist das System linearer, gewöhnlicher, homogener Gleichungen

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{\underline{A}} \cdot \underline{\hat{Q}} = \underline{0}}

geworden. Wir brauchen also nur noch die λ's zu bestimmen, für die das homogene Gleichungssystem eine nicht-triviale (von Null verschiedene) Lösung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{\hat{Q}}} hat. Davon gibt es genau N Stück.

✔ Tipp:

Die Matrix A ist für die berechneten Eigenwerte singulär. Das heißt: wir haben nur N-1 unabhängige Gleichungen zur Bestimmung der N Komponenten des Eigenvektors.  Ist also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{ \hat{Q}}_k} ein Eigenvektor, dann ist es auch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C\cdot \underline{\hat{Q}}_k} . Oft nutzt man diese Freiheit, um eine zusätzliche Bedingung einzuführen, nämlich Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\vert \left\vert \underline{\hat{Q}}_k \right\vert \right\vert = 1} , der Eigenvektor ist dann ein Einheits-Eigenvektor.

Die Kombination aus dem Quadrat des Eigenwerts (→ Eigenfrequenz) und zugeordnetem Eigenvektor (→ Schwingungsform)

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(\lambda^2_n, \hat{Q}_n\right), n = 1,\ldots,N}

heißt Eigenlösung (vgl. Eigenwertanalyse).

Die Gesamtlösung setzen wir aus den Eigenlösungen zusammen mit

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle Q(t) = \sum_k Q_k(t)}

und

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Wenn keine gyroskopischen Terme (wie z.B. in FEC1) auftreten, sind die System-Matrizen symmetrisch, dann gilt

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{\underline{M}} = \underline{\underline{M}}^T} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{\underline{B}} = \underline{\underline{B}}^T} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{\underline{K}} = \underline{\underline{K}}^T} .

Diese Symmetrie werden wir ausnutzen!

Eigenschwingungsformen sind orthogonal zueinander

Was das heißt, können wir besonders einfach zeigen, wenn wir zuerst ohne viskose Dämpfung, also mit

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arbeiten. Dann nämlich sind die Eigenlösung reell! Die Eigenlösung können wir nun als

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{ll}\left(\Lambda_n, \hat{Q}_n\right), n = 1,\ldots,N \text{ mit }& \Lambda_n = \lambda_n^2,\\&\lambda_n = j \cdot \omega_{0,n},\\&j = \sqrt{-1}\end{array}}

abkürzen. Einsetzten der Eigenlösungen in die homogene Bewegungsgleichung - jeweils einmal für die Lösung n=k und n=l - liefert zwei Gleichungssysteme, die wir mit den Eigenvektoren der jeweils anderen Lösung (rot) durchmultiplizieren.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rrr}\Lambda_k\;\;\; {\color{red}{\underline{\hat{Q}^T_l}}}\cdot \underline{\underline{M}} \cdot \underline{\hat{Q}}_k &+ {\color{red}{\underline{\hat{Q}^T_l}}}\cdot \underline{\underline{K}} \cdot \underline{\hat{Q}}_k &= \underline{0}\\\Lambda_l\;\;\; {\color{red}{\underline{\hat{Q}^T_k}}}\cdot\underline{\underline{M}} \cdot \underline{\hat{Q}}_l &+ {\color{red}{\underline{\hat{Q}^T_k}}}\cdot\underline{\underline{K}} \cdot \underline{\hat{Q}}_l &= \underline{0}\end{array}}

Jetzt transponieren wir die zweite Zeile und führen die Transposition jeweils auf die Matrix-Ebene zurück, z.B. so:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left({\color{red}{\underline{\hat{Q}^T_k}}}\cdot\underline{\underline{K}} \cdot \underline{\hat{Q}}_l\right)^T = \underline{\hat{Q}}^T_l \cdot\underline{\underline{K}}^T \cdot {\color{red}{\underline{\hat{Q}_k}}}}

Die beiden Zeilen oben subtrahieren wir nun von einander und finden wegen

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die Aussage

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(\Lambda_k - \Lambda_l\right)\;\;\;\underline{\hat{Q}}^T_l \cdot\underline{\underline{M}} \cdot \underline{\hat{Q}}_k = \underline{0}} .

Dann ist also

1. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ldots \text{ für } k=l: \left(\Lambda_k - \Lambda_l\right) = 0 \text{ und }}
2. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ldots \text{ für } k\neq l: \underline{\hat{Q}}^T_l \cdot\underline{\underline{M}} \cdot \underline{\hat{Q}}_k = \underline{0} \;\;\;\text{ und damit übrigens auch } \underline{\hat{Q}}^T_l \cdot\underline{\underline{K}} \cdot \underline{\hat{Q}}_k = \underline{0}}

Die Aussage von 2. ist: Die Eigenvektoren zu zwei verschiedenen Eigenwerten sind im Sinne des Skalarprodukts

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orthogonal. Das heißt auch, dass die Eigenvektoren nur dann zueinander selbst orthogonal sind, wenn die Massenmatrix proportional zur Einheitsmatrix ist.

Die Modalmatrix

Die N Eigenlösungen können wir in Matrixform schrieben - und damit die Transformation in Modalkoordinaten vorbereiten.

Dazu definieren wir die Modalmatrix

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{\underline{\underline{\hat{Q}}}} = \left(\underline{\hat{Q}}_1, \underline{\hat{Q}}_2,\ldots,\underline{\hat{Q}}_N \right) = \left(\begin{array}{ccc}\hat{q}_{11}&\ldots&\hat{q}_{1N}\\\vdots&\ddots&\vdots\\ \hat{q}_{N1}&\ldots&\hat{q}_{NN}\end{array}\right)}

und die Diagonalmatrix der Eigenwerte

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Diagonalisierung der Systemmatrizen und Transformation auf Modalkoordinaten

Die Eigenlösungen können wir nun so zusammenfassen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{\underline{\underline{\Lambda}}} \cdot \mathbf{\underline{\underline{\hat{Q}}}^T\cdot \underline{\underline{M}} \cdot \mathbf{\underline{\underline{\hat{Q}}}}} + \mathbf{\underline{\underline{\hat{Q}}}}^T\cdot \underline{\underline{K}} \cdot \mathbf{\underline{\underline{\hat{Q}}}} = \underline{0}} .

Wegen der Orthogonalität der Eigenvektoren ist

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Wir definieren

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Und wir nennen

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Statt einem System gekoppelter, linearer Differentialgleichungen erhalten wir mit

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N einzelne, entkoppelte Bewegungsgleichungen

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für

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Schauen Sie sich dazu noch einmal den Tipp zur Unbestimmtheit der Eigenvektoren oben an!

Das generalisierte Eigenwertproblem

Für das generalisierte Eigenwertproblem (Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{\underline{B}} \ne \underline{\underline{0}}} ) findet man zunächst keine Standard-Implementierungen zur Lösung unserer Bewegungsgleichungen 2. Ordnung. Matlab bietet die Routine

[V,D,W] = eig(A,B)

zur Lösung von

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wir müssen also unser System passend umschreiben.

Zentrales Merkmal der Matlab-Routine ist dabei, dass der Eigenwert λ einfach auftaucht, wir also unser System von Bewegungsgleichungen 2. Ordnung auf ein System 1. Ordnung transformieren müssen. Das gelingt mit dem Ansatz

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und wir erhalten

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Mit dem Ansatz

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überführen wir dann unsere Bewegungsgleichungen in die Form, die wir in Matlab angesteuert haben.

Im Allgemeinen sind die Eigenwerte λ_ikomplexwertig - und damit auch das Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{\hat{U}}} . Wir nehmen dann nur den Realteil der Lösung, also

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{U}(t) = \Re \left( \underline{\hat{U}}\cdot e^{\displaystyle \lambda t}\right)} .

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Links

• Matlab: Eigenvalue and Eigenvectors