Gelöste Aufgaben/GYRO

Aufgabenstellung

Kreisel und Ihre Bewegungsgleichungen sind immer wieder eine Herausforderung für uns Ingenieure. Hier nähern wir uns hier dem Thema mit dem Aufstellen und Lösen der Bewegungsgleichungen für große Winkel - und damit nichtlinearen Differentialgleichungen. Die sonst üblichen Linearisierungen führen wir nicht durch - und schauen, ob wir die Gleichungen noch gelöst bekommen.

Kreisel mit gelenkiger Fußpunktlagerung.

Gesucht ist die Präzessions-Bahn der eines Kreisels. Unser Kreisel ist ein Kegel der Höhe H und Radius R. Die Bewegungsgleichungen sollen mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen aufgestellt werden. Wir suchen nach der Trajektorie des Mittelpunktes des Kreisels für große Kippwinkel.

Lösung mit Maxima und Matlab^®

Wir arbeiten mit Maxima und Matlab.

Maxima brauchen wir zum Aufstellen der Bewegungsgleichungen, die zunächst mal recht komplex aussehen. Dabei nehmen wir die Bewegungsgleichungen wie sie aus den Gleichgewichtsbedingungen kommen und lösen sie als Anfangswertproblem.

Geomertrie des Kreisels

Header

Wir lösen hier das Anfangswertproblem zu nichtlinearen Bewegungsgleichungen zu den Koordinaten

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{\varphi} = \left\begin{array}{c}\varphi_1(t)\\\varphi_2(t)\\\varphi_3(t)\end{array}\right)}

Diese Gleichungen haben wir nicht - wir entwickeln sie ad-hoc und achten nur darauf, zentrale Phänomene abzubilden. Eine Abbildung der realen Zahlen ist nicht beabsichtigt.

/*******************************************************/
/* MAXIMA script                                       */
/* version: wxMaxima 21.05.2                           */
/* author: Andreas Baumgart                            */
/* last updated: 2022-03-27                            */
/* ref: gyroscopic precession                          */
/* description: solve using principle of virt. work    */
/*******************************************************/

Declarations

Wir brauchen

1+1

Equations of Motion

Wir brauchen

1+1

Solving

Wir brauchen

1+1

Postprocessing

Wir brauchen

1+1

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Links

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