Sources/Lexikon/Minimum Prinzipe

Bei Aufgaben der Mechanik, bei denen Kräfte und Spannungen linear von den gesuchten Koordinaten abhängen, ist das Potential der Energie eines System immer eine quadratische Form in den generalisierten Koordinaten q:

$\displaystyle U({\underline {q}})={\frac {1}{2}}\;{\underline {q}}^{T}\cdot {\underline {\underline {A}}}\cdot {\underline {q}}-{\underline {q}}^{T}\cdot {\underline {b}}$.

Elliptisches Paraboloid für U.

So ist das elastische Potential einer Feder

$\Pi _{F}={\frac {1}{2}}\cdot k\cdot \Delta u^{2}{\text{ mit der Federlängung }}\Delta u$

oder das elastische Potential eines Euler-Bernoulli-Balkens

$\Pi _{EBB}=\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{\ell }EI(w'')^{2}dx$.

mit der Krümmung des Euler-Bernoulli-Balkens w''. Für den Sonderfall von zwei Koordinaten q₁ und q₂ kann man diese Funktion grafisch auftragen:

Dann ist U(q₁,q₂) ein elliptisches Paraboloid:

plot3d(((x-1)^2+(y-2)^2)-2,[x,-1,3],[y,0,4],[z,-2,2],[legend,""], [xlabel,"u[1]→"], [ylabel,"u[2]→"], [zlabel,"U↑"]);

Berechnetes Potential U(q₁,q₂)

Das Minimum von U bestimmen wir durch

${\begin{array}{ll}\displaystyle {\frac {dU}{d{\underline {q}}}}&={\underline {\underline {A}}}\cdot {\underline {q}}-{\underline {b}}\\&{\stackrel {!}{=}}{\underline {0}}\end{array}}$,

also tritt das Minimum auf, wenn

${\underline {\underline {A}}}\cdot {\underline {q}}={\underline {b}}$

erfüllt ist. Wie das praktisch geht, zeigt Beispiel FEAA.

Links

• Wikipedia: Quadratic Forms