Sources/Lexikon/Dehnstab

Der Dehnstab ist ein Stabmodell für den einachsigen Spannungszustand. Die einzige auftretenden Spannung ist σ_xx, also

$\underset{\_}{\sigma }=\left(\begin{array}{c}{\sigma }_{xx}\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

Die Schnittlast N am Querschnitt mit dem Flächeninhalt A ist also

$N(x)=A\cdot {\sigma }_{xx}(x)$

Aus den Spannungs-Dehnungs-Beziehung lesen wir außerdem

${\sigma }_{xx}=E\cdot {\epsilon }_{xx}$

ab, also

$N=EA\cdot \epsilon$

Die Spannungen über den Querschnitt sind konstant, wir brauchen also nur eine einzige Ortskoordinate x, um die Spannungen - und damit die Dehnungen und Verschiebungen - eindeutig zu beschreiben. Mit der Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehung ε = u' ist dann

$N=EA\cdot u^{\prime }$

Koordinaten

Die Bedingung für das Kräfte-Gleichgewicht am Dehnstab lesen wir aus dem verformten System an, dabei ist n eine eingeprägte Streckenlast.

$N(x+\mathrm{\Delta }x,t)-N(x)=n(x)\cdot \mathrm{\Delta }x$

Nach Dividion durch Δx und dem Übergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten ist

$N^{\prime }=-n$

Und somit - falls E, A nicht von x abhängen

$EA{u}^{″}=-n$