Gelöste Aufgaben/UEBP

Aufgabenstellung

Diese Problemstellung liefert einen Näherungsansatz für eine Standardlösung zum Euler-Bernoulli-Balken.

Der Euler-Bernoulli-Balken AB wird durch ein Moment M zwischen den beiden gelenkigen Lagern belastet. 

Lageplan

Gesucht ist eine Lösung für die Biegelinie mit dem Ansatz von Ritz und zwei Trial-Funktionen.

Im Vergleich zu UEBO, das die gleiche Aufgabenstellung hat - arbeiten wir hier mit Ansatzfunktionen in zwei Sektionen wie bei der FEM. Nur das Gleichgewichts-Prinzip bliebt das Gleicht: das Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie.

Lösung mit Maxima

Beim Verfahren von Ritz arbeiten wir mit

• dem Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie.

Statt mit

• Ansatzfunktionen über die gesamte Länge des Balkens arbeiten wir
• hier mit zwei Finiten Elementen (Sektionen), für die wir separat ansetzen.

tmp

Header

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tmp

Um die Lösung dimensionslos zu machen, nutzen wir wieder die analytische Lösung des Problems  und

• $W^{max}=\displaystyle {\frac {M\,\ell ^{2}}{9{\sqrt {3}}\,\cdot E\,I}}$: die maximale Auslenkung des Balkens für a=ℓ.

Dimensionslose Orts-Koordinaten sind

${\begin{array}{ll}x&=\xi \cdot \ell ,\\a&=\alpha \cdot \ell .\end{array}}$.

Declarations

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tmp

Dass wir in UEBO die Trial-Funktions ϕ über die gesamte Stablänge angesetzt haben, führt bei den berechneten Näherungen für die Momente M(x) und letztlich auch für die Verschiebungen w(x) zu massiven Fehlern. Einen Sprung in der Momenten-Kennlinie mit einem Polynom zu approximieren, geht halt nicht gut.

Ein Schritt hin zur Methode der Finiten Elemente ist bei diesem "modifizierten Verfahren von Rayleigh-Ritz" der Ansatz der Trial-Functions in zwei Sektionen - also wie bei analytischen Lösung auch.

Die Sektions- (Element-) Längen sind dabei

• für Sektion I: $\ell _{I}=\alpha \cdot \ell$  und
• für Sektion II: $\ell _{II}=(1-\alpha )\cdot \ell$.

Formfunctions

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Potential Energy

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Equilibrium Conditions

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Solving

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Post-Processing

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Verläufe von w(x), ϕ(x)

Vergleich analytische / numerische Lösung für w(x)

Vergleich analytische / numerische Lösung für das Schnittmoment M(x)