Gelöste Aufgaben/UEBA
Aufgabenstellung
Wie man die Sensoren eines Smartphones für Messungen einsetzt, zeigen wir hier.
Hier soll der Elastizitätsmodul des Stab-Materials mit Hilfe eines Biegeversuchs bestimmt werden. Der Stab der Länge ℓ hat einen quadratischen Querschnitt der Höhe h und die Masse m. Für die Messung nutzen Sie als Sensor ihr Smartphone, das Ihnen die statische Beschleunigung ay, az in y- und z-Richtung angibt.
Sie haben Ihre Standard-Lösungen für den Euler-Bernoulli-Balken zu Hause vergessen und müssen sich mit einer Näherungslösung für den Balken nach dem Verfahren von Rayleigh-Ritz zufrieden geben.

Für den Versuch wird der Balken wird durch seine Gewichtskraft belastet. Er ist in A fest eingespannt, die Masse des Smartphones sei vernachlässigbar.
Gesucht ist die Lösung mit dem Ansatz von Rayleigh-Ritz und zwei Trial-Functions.
Gegeben: ℓ=3 m, m=28 kg, g=9.81 m/s2, h=10 cm,
ay = 0.9793658 m/s2, az= 9.7609909 m/s2
Lösung mit Maxima
Smartphones haben eine Reihe von Sensoren eingebaut - und die man kann als Ingenieur prima gebrauchen ...
Ein Erklärungsvideo zu Beschleunigungs-Sensoren finden Sie hier.
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Das Rayleigh-Ritz-Verfahren ist hier ein bisschen unter der experimentellen Bestimmung von Parametern des Systems "vergraben".
Der Lösungsweg ist aber der gleiche wie gewohnt.
Header
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Die Streckenlast auf den Balken ist
und wir arbeiten mit der dimensionslosen Länge
.
System-Parameters
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Als Ansatzfunktion für die Näherungslösung verwenden wir
.

Die Trial-Functions ϕi erfüllen dabei die Bedingungen
und
Formfunctions
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Für den Ritz-Ansatz brauchen wir die Terme der Potentiellen Energie des Systems
,
wobei Π die Formänderungsenergie ist und A die Arbeitsfunktion der äußeren Last q0.
Es ist
.
Π und A setzen wir in U ein und schreiben die skalare Gleichung in Matrizenform an. Dabei müssen wir
beachten. Mit den gesuchten Größen
erhalten wir für das Potential
wobei für die Koeffizienten der Matrix K
gilt und die rechten Seite P
.
✔ Matlab© und Polynome: |
Alle verwendeten Funktionen in diesem Beispiel sind Polynome. Matlab© bietet für die Manipulation von Polynomen eine Klasse von Functions an, die hier sehr hilfreich sind: |
Potential Energy
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Die Gleichgewichtsbedingungen
sind erfüllt, wenn
.
Dieses lineare Gleichungssystem hat die Lösung
.
Zum Vergleich schauen wir jetzt bei der analytischen Lösung des Problems nach:
.
Und sehen: unsere Lösung nach Rayleigh-Ritz stimmt am Rand exakt mit der analytischen Lösung überein, es ist
!
Solving
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Die Näherungslösung für Auslenkung w(x), Kippwinkel ϕ(x), Moment M(x) und Querkraft Q(x) können wir jetzt auftragen. Dafür verwenden wir die weiteren Referenzgrößen
und tragen die Lösungen dimensionslos auf:
Für unsere Fragestellung schreiben wir die Lösung um als
und bestimmen uns den Drehwinkel aus den gemessenen statischen Beschleunigungen (vgl. Bild oben). Dabei ist
.
🧨 Warum nehmen wir nicht die z-Komponente der Beschleunigung?: |
Die az-Komponente können wir nicht gebrauchen weil
|
Da für kleine Winkel sin(Φ) ≈ Φ gilt, ist
Wir berechnen die gesuchte Materialkonstante mit
zu
.
Post-Processing
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