Gelöste Aufgaben/UEBA

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Aufgabenstellung

Wie man die Sensoren eines Smartphones für Messungen einsetzt, zeigen wir hier.

Hier soll der Elastizitätsmodul des Stab-Materials mit Hilfe eines Biegeversuchs bestimmt werden. Der Stab der Länge hat einen quadratischen Querschnitt der Höhe h und die Masse m. Für die Messung nutzen Sie als Sensor ihr Smartphone, das Ihnen die statische Beschleunigung ay, az in y- und z-Richtung angibt.

Sie haben Ihre Standard-Lösungen für den Euler-Bernoulli-Balken zu Hause vergessen und müssen sich mit einer Näherungslösung für den Balken nach dem Verfahren von Rayleigh-Ritz zufrieden geben.


Lageplan

Für den Versuch wird der Balken wird durch seine Gewichtskraft belastet. Er ist in A fest eingespannt, die Masse des Smartphones sei vernachlässigbar.

Gesucht ist die Lösung mit dem Ansatz von Rayleigh-Ritz und zwei Trial-Functions.

Gegeben: ℓ=3 m, m=28 kg, g=9.81 m/s2, h=10 cm,

                 ay = 0.9793658 m/s2, az= 9.7609909 m/s2

Lösung mit Maxima

Smartphones haben eine Reihe von Sensoren eingebaut - und die man kann als Ingenieur prima gebrauchen ...

Ein Erklärungsvideo zu Beschleunigungs-Sensoren finden Sie hier.

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Das Rayleigh-Ritz-Verfahren ist hier ein bisschen unter der experimentellen Bestimmung von Parametern des Systems "vergraben".

Der Lösungsweg ist aber der gleiche wie gewohnt.

Header

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Die Streckenlast auf den Balken ist

q0=mg

und wir arbeiten mit der dimensionslosen Länge

ξ=x.


System-Parameters

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Formfunctions

Als Ansatzfunktion für die Näherungslösung verwenden wir

w(x)=W(ξ2(32ξ))=:ϕ1+Φ(ξ2(ξ1))=:ϕ2

.

Koordinaten

Die Trial-Functions ϕi erfüllen dabei die Bedingungen

w()=W

und

w()=Φ



Formfunctions

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Für den Ritz-Ansatz brauchen wir die Terme der Potentiellen Energie des Systems

U=ΠA,

wobei Π die Formänderungsenergie ist und A die Arbeitsfunktion der äußeren Last q0.

Es ist

Π=12EI(w)2dxA=q(x)w(x)dx mit q(x)=mg.

Π und A setzen wir in U ein und schreiben die skalare Gleichung in Matrizenform an. Dabei müssen wir

dϕix=dϕiξdξx=1

beachten. Mit den gesuchten Größen

Q_=(WΦ)

erhalten wir für das Potential

U=12EIQ_TK__Q_Q_TP_

wobei für die Koeffizienten der Matrix K

ki,j=EI301ϕi(ξ)ϕj(ξ)dξ Achtung! Hier mit (.)=d(.)dξ

gilt und die rechten Seite P

pi=q001ϕi(ξ)dξ.

Matlab© und Polynome:
Alle verwendeten Funktionen in diesem Beispiel sind Polynome. Matlab© bietet für die Manipulation von Polynomen eine Klasse von Functions an, die hier sehr hilfreich sind:


Potential Energy

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Die Gleichgewichtsbedingungen

dUdQi=!0

sind erfüllt, wenn

EI3(126642)(WΦ)=mg(1212).

Dieses lineare Gleichungssystem hat die Lösung

(WΦ)=mg3EI(1816).

Zum Vergleich schauen wir jetzt bei der analytischen Lösung des Problems nach:

w^=wmax=48EIq0φ^=w'B=36EIq0.

Und sehen: unsere Lösung nach Rayleigh-Ritz stimmt am Rand exakt mit der analytischen Lösung überein, es ist

W=w^Φ=ϕ^!


Solving

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Lösungsverläufe für w, φ, M, Q

Die Näherungslösung für Auslenkung w(x), Kippwinkel ϕ(x), Moment M(x) und Querkraft Q(x) können wir jetzt auftragen. Dafür verwenden wir die weiteren Referenzgrößen

Mref=mgQref=mg

und tragen die Lösungen dimensionslos auf:

Für unsere Fragestellung schreiben wir die Lösung um als

EI=mg26ΦW=3Φ4

und bestimmen uns den Drehwinkel aus den gemessenen statischen Beschleunigungen (vgl. Bild oben). Dabei ist

ay=gsin(Φ).

🧨 Warum nehmen wir nicht die z-Komponente der Beschleunigung?:
Die az-Komponente können wir nicht gebrauchen weil
azΦ|Φ=0=0

Da für kleine Winkel sin(Φ) ≈ Φ gilt, ist

Φ=0.1

Wir berechnen die gesuchte Materialkonstante mit

I=h412

zu

E=878.976.000Nm2.


Post-Processing

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