Gelöste Aufgaben/Tzul

Aufgabenstellung

Hier spielt das Prinzip der virtuellen Verrückungen seine Stärke voll aus:

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Auf der skizzierten Scherenbühne mit Stablänge ℓ steht eine Masse m.

Berechnen Sie die Kraft F als Funktion der Höhe h.

Hinweis: diese Aufgabe lässt sich gut mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit unter Verwendung der Koordinate u lösen.

Gegeben: ℓ, m, g

Lösung mit Maxima

Die Kinematik, also den Zusammenhang zwischen u und h erhalten wir aus dem Satz von Pythagoras:

$\displaystyle u^{2}+\left({\frac {h}{4}}\right)=\ell ^{2}$

Daraus kommt:

$\displaystyle u={\frac {\sqrt {16\cdot {{l}^{2}}-{{h}^{2}}}}{4}}$ und,

$\displaystyle {\mathit {\delta u}}=-{\frac {h\cdot {\mathit {\delta h}}}{4\cdot {\sqrt {16\cdot {{\ell }^{2}}-{{h}^{2}}}}}}$.

Mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen lautet die Gleichgewichtsbedingung:

${\begin{array}{ll}\delta W&=-F\cdot \delta u-G\cdot \delta h;\\&{\stackrel {!}{=}}0\end{array}}$

Die erforderliche Kraft F ist:

$\displaystyle F={\frac {4\cdot {\sqrt {16\cdot {{\ell }^{2}}-{{h}^{2}}}}\cdot G}{h}}$

Erforderliche Kraft F/G

Auftragen von F über den Scherenwinkel liefert

Implementierung in Maxima

Die Formeln lassen sich leicht in Maxima schrieiben:

/* declare variational variables */
declare("δW", alphabetic);
declare("δu", alphabetic);
declare("δh", alphabetic);

/* Principle of virtual Work */
δW : -F*δu - G*δh;

/* kinematics */
kin: solve(u^2+(h/4)^2=l^2,u)[2];
varia: [δu = diff(rhs(kin),h)*δh];

/* solve */
sol: solve(subst(varia,δW)=0,F);

/* plot results */
plot2d(4/tan(phi),[phi,0,%pi/4], [x,0,%pi/4], [y,0,100],
                [ylabel, "F/G ->"], [xlabel, "φ->"]);

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