Gelöste Aufgaben/SKER

Aufgabenstellung

Die Bewegung des Dehnstabes wird durch das Zusammenspiel von elastischen Verformungen und Trägheitskräften bestimmt. Man nennt das "Schwingungen von Kontinua" - diese untersuchen wir hier. Der zentrale Aufgabe besteht in der Berechnung der homogenen Lösung - und der Anpassung der Lösungsanteile an die Anfangsbedingungen.

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Gesucht ist analytische Lösung für Schwingungen des Euler-Bernoulli-Balkens beim Loslassen aus der enspannten Ruhelage.

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Für die mathematische Behandlung - insbesondere der Auflösung quadratischer Gleichungen - setzen wir in Maxima voraus, dass

$E>0,\;\;\;A>0,\;\;\;\ell _{0}>0;$ .

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In der Gleichgewichtsbeziehung für den Dehnstab setzen wir als eingeprägte, äußere Streckenlast n(x,t) die D'Alembert'sche Trägheitskraft und die Gewichtskraft an, also

$n(x,t)=\varrho \;A\cdot g-\varrho \;A\cdot {\ddot {u}}(x,t)$

Die Lösung der partiellen Bewegungsgleichung

$\varrho \,A\cdot {\ddot {u}}-E\,A\cdot u''=\varrho \,A\cdot g$

setzt sich dann aus zwei Lösungsanteilen, der partikularen Lösung u_p und der homogenen Lösung u_h, zusammen; wir schreiben

$u_{t}(x,t)=u_{p}(x,t)+u_{h}(x,t)$

Equations of Motion

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Die partikulare Lösung u_p erfüllt die "rechte Seite" der Bewegungsgleichung, also -ϱ A⋅g:

$E\,A\cdot {u}''_{p}=-\varrho \,A\cdot g$.

Die rechte Seite ist zeit-unveränderlich - so auch die partikulare Lösung:

Wir integrieren die Bewegungsgleichung zwei Mal und erhalten

$\displaystyle A\,E\,\operatorname {u} (x)=-{\frac {A\,g\,\rho \,{{x}^{2}}}{2}}+{{C}_{1}}\,x+{{C}_{0}}$.

Die zwei Integrationskonstanten C_i müssen wir nun an die Randbedingungen

${\begin{array}{rl}u_{p}(0)&=0\\E\,A\,u_{p}'(\ell )&=0\end{array}}$

anpassen, wir erhalten aus dem linearen Gleichungssystem

${\begin{array}{l}0={{C}_{0}}\\0=-A\,g\,\varrho \,x+C_{1}\end{array}}$

und damit die partikulare Lösung

$\displaystyle E\,A\,u_{p}(x)=\varrho \,A\,g\,\ell ^{2}\left(\xi -{\frac {\xi ^{2}}{2}}\right)$

Partikulare Lösung

Die maximale Auslenkung - am rechten Rand - nutzen wir als Bezugslänge

$\displaystyle u_{s}={\frac {\varrho \,A\,g\,\ell ^{2}}{2\;E\,A}}$

Und so sieht u_p aus:

Particular Solution

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Die homogene Bewegungsgleichung

$\varrho \,A\cdot {\ddot {u}}-E\,A\cdot u''=0$

lässt Lösungen vom Typ

$\displaystyle u_{h}(x,t)=U\cdot \sin(\kappa \,x)\cdot \cos(\omega _{0}\,t)$

zu, die alle Rand- und Anfangsbedingungen erfüllen. Eigentlich müsste hier ein $U\cdot e^{j\,\omega _{0}\,t}\cdot e^{\kappa _{0}\,t}$-Ansatz stehen, beim dem auch U komplex wäre. Mit etwas Erfahrung dürfen wir es uns hier einfacher machen.

Einsetzten unseres speziellen Ansatzes liefert

$\displaystyle \kappa ^{2}={\frac {\varrho \,A}{E\,A}}\omega _{0}^{2}$.

Die Anpassung an die Randbedingungen

${\begin{array}{rl}u_{h}(0,t)&=0\\E\,A\,u_{h}(\ell ,,t)&=0\end{array}}$

gestaltet sich einfach: unser besonderer Ansatz erfüllt bereits die erste Randbedingung (sin(0)=0), die zweite Randbedingung cos(κl)=0 ist erfüllt, wenn

$\displaystyle \kappa ={\frac {2\pi \;i-\pi }{2\,\ell }}$,

wir bekommen für jedes i eine Lösung, also unendlich viele.

Zu jedem κ gehört eine Eigenkreisfrequenzen

$\displaystyle \omega _{0}^{2}={\frac {\pi ^{2}\,E}{\varrho \,\ell ^{2}}}\cdot \left(i-{\frac {1}{2}}\right)^{2}$.

Die unterste Eigenfrequenz nutzen wir, um eine Bewegungsgleichungen dimensionslos zu machen: die längste Schwingungsperiode ist damit die Bezugs-Zeit

${\begin{array}{ll}T_{ref}&\displaystyle ={\frac {2\pi }{\omega _{0,1}}}\\&\displaystyle =4\,\ell \,{\sqrt {\frac {\varrho }{E}}}\end{array}}$

Die Lösungen

$\displaystyle {\frac {u_{h,i}(t)}{U_{i}}}=\underbrace {\sin(\kappa _{i}\,x))} _{\displaystyle :=\phi _{i}(x)}\cdot \cos(\omega _{0,i}\,t)$

mit Ihren Modal-Formen ϕ_i und Eigenkreisfreuquenzen ω_0,i sind hier aufgetragen.

Mode	Modalform ϕj	Mode	Modalform ϕj
#1 $\displaystyle \omega _{0,1}=1\cdot {\frac {2\pi }{T}}$		#2 $\displaystyle \omega _{0,2}=3\cdot {\frac {2\pi }{T}}$
#3 $\displaystyle \omega _{0,3}=5\cdot {\frac {2\pi }{T}}$		#4 $\displaystyle \omega _{0,4}=7\cdot {\frac {2\pi }{T}}$
#5 $\displaystyle \omega _{0,5}=9\cdot {\frac {2\pi }{T}}$		#6 $\displaystyle \omega _{0,6}=11\cdot {\frac {2\pi }{T}}$

Homogeneous Solution

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Animation: Loslassen des Systems aus der unverformten Rugelage.

Zum Zeitpunkt t=0 soll

$\underbrace {u_{h}(x,0)} _{\displaystyle =\sum _{i=1}^{\infty }U_{i}\cdot \phi _{i}(x)}+u_{p}(x)=0$

gelten. Das kriegen wir hin, indem wir die (unendlich vielen) U_i der homogenen Lösung passend wählend. Das klingt komplizierter als es ist - die Mathematik bereitet uns den Weg.

⚠ Spezieller Lösungsansatz:

Wir können unseren speziellen Lösungsansatz mit $\cos(\omega _{0}\,t)$ übrigens nur deshalb an die Anfangsbedingungen anpassen, weil die Anfangsgeschwindigkeit des Stabes Null ist - das liefert der cos. Für eine von Null verschiedene Anfangsgeschwindigkeit bräuchten wir den sin-Anteil der Lösung.

Die Beziehung oben multiplizieren wir mit einer der Modalformen ϕ_k und bilden das Integral über die Balken-Lange ℓ, also

$\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{\infty }U_{i}\cdot \int _{0}^{\ell }\phi _{j}(x)\cdot \phi _{k}(x)\;dx\right)+\int _{0}^{\ell }u_{p}(x)\cdot \phi _{k}(x)\;dx=0$.

Wir projizieren also die Modalformen auf sich selbst und auf die partikulare Lösung. Und nutzen aus, dass diese Faltungs-Integrale der Modalformen eine besondere Eigenschaft haben:

$\displaystyle \int _{0}^{\ell }\phi _{j}\cdot \phi _{k}\;dx\left\{{\begin{array}{l}=0{\text{ für }}j\neq k\\\neq 0{\text{ für }}j=k\end{array}}\right.$

Man sagt: die Funktionen sind zueinander verallgemeinert orthogonal. Damit berechnen wir

$\displaystyle U_{i}={\frac {32}{\pi ^{3}\left(8{{i}^{3}}-12{{i}^{2}}+6i-1\right)}}$,

Animation: Loslassen des Systems aus der unverformten Rugelage.

Anhand der numerischen Werte der Koeffizienten

${\begin{array}{l}U_{1}=-1.03,\\U_{2}=-0.0382,\\U_{3}=-0.00826,\\U_{4}=-0.00301,\\U_{5}=-0.00142,\\U_{6}=-7.75\cdot 10^{-4}\end{array}}$

sehen wir, dass nur die erste Modalform einen signifikanten Beitrag bei der Anpassung an die Anfangsbedingungen liefert. Wir nehmen bei der Auftragung der Gesamtlösung w_t(x,t) trotzdem die ersten sechs Modalformen mit:

In der Animation sehen Sie das Loslassen des Stabes aus der unverformten, geraden Referenzlage für genau eine Periodenlänge T₁ der ersten Modalform. Die Schwingung, die entsteht ist T₁-periodisch - die anderen Modalformen leisten einen (kleinen) Beitrag, dessen Schwingungsperiode genau ein Vielfaches der Grundschwingung ist - die Darstellung der aneinandergestückelten Lösungen geht "ruckfrei" nach einer Periode ineinander über.

✔ Tipp:

Die Grundform der homogenen Differentialgleichung ${\ddot {u}}-c^{2}\cdot u''=0\;\;\;\;{\text{ hier mit }}\displaystyle c^{2}={\frac {E}{\varrho }}$ ist Basis für alle Musik-Instrumente - ob Saiten- oder Blas-Instrument.  Denn die Bewegungsgleichung von Saiten- und Luft-in-Rohr-Resonanzen führen auf genau diese Bewegungsgleichung. Überlegen Sie, welche Eigenschaft der homogenen Lösung dieser Bewegungsgleichung ihre besondere Bedeutug ausmacht!

Adapt to Initial Conditions

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Links

• Schwingungen von Kontinua eines Euler-Bernoulli-Balkens (SKEB)

Literature

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