Aufgabenstellung Die Aufgabenstellung ist identisch mit Aufgabe Kw55, hier ist die Lösung mit dem Verfahren von Rayleigh-Ritz gefragt.
Lageplan Gesucht ist eine Näherungslösung mit dem Verfahren von Rayleigh-Ritz für ein Euler-Bernoulli-Modell der Struktur.
Verwenden Sie zwei freie Trial-Funtions .
Lösung mit Maxima tmp Die Herausforderung der Aufgabe liegt wieder in der kinematischen Zwangsbedingung, die der starre Stab abc dem Euler-Bernoulli-Balken auferlegt. Diese Zwangsbedingung lautet
w
B
=
1
2
w
C
{\displaystyle w_{B}=\displaystyle {\frac {1}{2}}w_{C}}
mit den Abkürzungen
Die geometrischen Randbedingungen in A erfüllen wir, indem wir Polynome ab dem Grad 2 verwenden.
Für die Lösung nach Rayleigh-Ritz können wir
zwei freie Trial-Functions wählen, die die Zwangsbedingung selbst schon erfüllen
mit Lagrange-Multiplikator die Zwangsbedingung einbauen. Der zweite Weg ist bei Computer-Anwendungen meist viel einfacher - den gehen wir hier.
Text
tmp Wir brauchen
q
0
=
m
g
ℓ
{\displaystyle q_{0}=\displaystyle {\frac {m\,g}{\ell }}}
und nutzen eine Referenzlösung (wie in Kw55)
w
^
=
q
0
(
2
ℓ
)
4
8
E
I
ϕ
^
=
q
0
(
2
ℓ
)
3
6
E
I
{\displaystyle {\begin{array}{ccc}{\hat {w}}&=&\displaystyle {\frac {q_{0}\,(2\ell )^{4}}{8EI}}\\{\hat {\phi }}&=&\displaystyle {\frac {q_{0}\,(2\ell )^{3}}{6EI}}\end{array}}}
Declarations Text
tmp Um zwei freie Trial-Functions zu bekommen, müssen wir drei ansetzen: ein Freiheitsgrad wird von der kinematischen Zwangsbedingung aufgehoben.
Also wählen wir
w
(
ξ
)
=
w
^
⋅
∑
i
=
2
4
W
i
⋅
ξ
i
{\displaystyle \displaystyle w(\xi )={\hat {w}}\cdot \sum _{i=2}^{4}W_{i}\cdot \xi ^{i}}
mit
x
=
ξ
⋅
ℓ
{\displaystyle x=\xi \cdot \ell }
und ergänzen dies um die Zwangsbedingung
2
⋅
w
(
1
)
=
w
(
2
)
{\displaystyle 2\cdot w(1)=\,w(2)}
Achtung: Der Balken ist "2"-lang.
Formfunctions Text
tmp Für die Gleichgewichtsbedingungen brauchen wir die potentielle Energie (hier die Lagrange-Funktion)
Λ
=
1
2
⋅
ℓ
3
E
I
∫
0
2
(
d
2
d
ξ
2
⋅
w
(
ξ
)
)
2
d
ξ
−
(
2
m
g
+
1
2
m
g
)
⋅
w
(
1
)
+
(
1
2
m
g
)
⋅
w
(
2
)
+
λ
⋅
m
2
g
2
ℓ
3
E
I
⋅
(
2
w
(
1
)
−
w
(
2
)
)
{\displaystyle {\begin{array}{lcl}\Lambda =&&\displaystyle {\frac {1}{2\cdot \ell ^{3}}}\displaystyle EI\int _{0}^{2}\left(\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\,\xi ^{2}}}\cdot w(\xi )\right)^{2}d\xi \\&-&\left(2m\,g+\displaystyle {\frac {1}{2}}m\,g\right)\cdot w(1)+\left(\displaystyle {\frac {1}{2}}m\,g\right)\cdot w(2)\\&+&\lambda \cdot \displaystyle {\frac {m^{2}\,g^{2}\ell ^{3}}{EI}}\cdot (2\,w(1)-w(2))\end{array}}}
wobei der konstante Faktor bei dem Lagrange-Multiplikator λ nur der Ästhetik dient ....
Die gesuchten Größen sind nun
Q
_
=
(
W
2
W
3
W
4
λ
)
{\displaystyle {\underline {Q}}=\left({\begin{array}{c}W_{2}\\W_{3}\\W_{4}\\\lambda \end{array}}\right)}
und die Gleichgewichtsbedingungen kommen aus
d
Λ
d
Q
i
=
!
0
{\displaystyle \displaystyle {\frac {d\Lambda }{dQ_{i}}}{\stackrel {!}{=}}0}
zu
−
2
λ
+
256
W
4
+
96
W
3
+
32
W
2
−
1
=
0
,
−
2
λ
+
384
W
4
+
128
W
3
+
32
W
2
+
1
=
0
,
70
λ
−
18432
W
4
−
5760
W
3
−
1280
W
2
−
55
=
0
,
−
7
W
4
−
3
W
3
−
W
2
=
0
{\displaystyle {\begin{array}{cc}-2\lambda +256{W_{4}}+96{W_{3}}+32{W_{2}}-1&=0,\\-2\lambda +384{W_{4}}+128{W_{3}}+32{W_{2}}+1&=0,\\70\lambda -18432{W_{4}}-5760{W_{3}}-1280{W_{2}}-55&=0,\\-7{W_{4}}-3{W_{3}}-{W_{2}}&=0\end{array}}}
Equilibrium Conditions Text
tmp Dieses lineare Gleichungssystem hat die Lösung
W
2
=
23
56
,
W
3
=
−
27
112
,
W
4
=
5
112
,
λ
=
3
14
{\displaystyle \displaystyle {{W}_{2}}={\frac {23}{56}},{{W}_{3}}=-{\frac {27}{112}},{{W}_{4}}={\frac {5}{112}},\lambda ={\frac {3}{14}}}
Solving Text
tmp Verläufe der gesuchten Größen Einsetzen in die Trial-Functions liefert die (dimensionslosen) Funktionsverläufe für w, ϕ, M und Q :
Post-Processing Text
Links
Literature
