Gelöste Aufgaben/Kw52

Aufgabenstellung

Eine Brücke ABC der Masse m_B und homogener Biegesteifigkeit EI ist in C gelenkig gelagert und in A sowie B mit einem Seil verbunden. Das undehnbare Seil wird dabei über eine kleine Rolle (Radius r ≪ ℓ) in D haftungsfrei geführt. In Punkt C ist die Brücke über eine Drehfeder der Steifigkeit K_C mit dem Lager verbunden. In A steht eine Person der Masse m_A.

Lageplan (wie Kw50)

Geben Sie die Lösung für ein Euler-Bernoulli-Modell der Brücke mit dem Ansatz der Finiten Elemente an.

Dies ist eine Näherungslösung zu Kw50. Ermitteln Sie die genäherten Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken für diese Parameter:

$\begin{array}{ll}{K}_C=& 5\frac{EI}{{\ell }_0}\\ m_A=& \frac{m_B}{5}\end{array}$

Lösung mit Maxima

Für die Lösung nutzen wir direkt die Elemente aus der FEM-Formulierung für den Euler-Bernoulli-Balken.

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Header

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Wir arbeiten mit den selben Parametern und Bezugslängen, wie in Kw50.

Declarations

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Wir nutzen zwei Finite Elemente für die Brücke und setzen dafür die klassischen Hermite-Polynome, i.e. Polynome dritten Grades, an.

An den drei Knotenpunkten A, B und C haben wir also zusammen die Koordinaten

$\underset{\_}{Q}=\left(\begin{array}{c}{W}_A\\ {\mathrm{\Phi }}_A\\ W_B\\ {\mathrm{\Phi }}_B\\ W_C\\ {\mathrm{\Phi }}_C\end{array}\right)$.

Formfunctions

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Für die Gleichgewichtsbedingung

$\begin{array}{lll}\delta W& =& \delta W^a-\delta \mathrm{\Pi }\\ & \stackrel{!}{=}& 0\end{array}$

konstruieren wir - ohne Berücksichtung der geometrischen Zwangsbedingungen -

$\delta \mathrm{\Pi }=\delta {\underset{\_}{Q}}^T\cdot {\underset{\_}{\underset{\_}{K}}}_0\cdot \underset{\_}{Q}+K_C{\mathrm{\Phi }}_C\delta {\mathrm{\Phi }}_C$

mit

${\underset{\_}{\underset{\_}{K}}}_0=EI\cdot \left(\begin{array}{cccccc}\frac{12}{{\ell }_1^3}& \frac{6}{{\ell }_1^2}& -\frac{12}{{\ell }_1^3}& \frac{6}{{\ell }_1^2}& 0& 0\\ \frac{6}{{\ell }_1^2}& \frac{4}{{\ell }_1}& -\frac{6}{{\ell }_1^2}& \frac{2}{{\ell }_1}& 0& 0\\ -\frac{12}{{\ell }_1^3}& -\frac{6}{{\ell }_1^2}& \frac{12{\ell }_2^3+12{\ell }_1^3}{{\ell }_1^3{\ell }_2^3}& -\frac{6{\ell }_2^2-6{\ell }_1^2}{{\ell }_1^2{\ell }_2^2}& -\frac{12}{{\ell }_2^3}& \frac{6}{{\ell }_2^2}\\ \frac{6}{{\ell }_1^2}& \frac{2}{{\ell }_1}& -\frac{6{\ell }_2^2-6{\ell }_1^2}{{\ell }_1^2{\ell }_2^2}& \frac{4{\ell }_2+4{\ell }_1}{{\ell }_1{\ell }_2}& -\frac{6}{{\ell }_2^2}& \frac{2}{{\ell }_2}\\ 0& 0& -\frac{12}{{\ell }_2^3}& -\frac{6}{{\ell }_2^2}& \frac{12}{{\ell }_2^3}& -\frac{6}{{\ell }_2^2}\\ 0& 0& \frac{6}{{\ell }_2^2}& \frac{2}{{\ell }_2}& -\frac{6}{{\ell }_2^2}& \frac{4}{{\ell }_2}\end{array}\right)$

und

$\delta W^a=\delta {\underset{\_}{Q}}^T\cdot {\underset{\_}{P}}_0+m_{A}g{W}_A\delta W_A$

mit

${\underset{\_}{P}}_0=\frac{q_0{\ell }_1}{2}\cdot \left(\begin{array}{c}\frac{2m_{A}g+q_0{\ell }_1}{q_0{\ell }_1}\\ \frac{{\ell }_1}{6}\\ \frac{{\ell }_2+{\ell }_1}{{\ell }_1}\\ \frac{{\ell }_2^2-{\ell }_1^2}{6{\ell }_1}\\ \frac{{\ell }_2}{{\ell }_1}\\ -\frac{{\ell }_2^2}{6{\ell }_1}\end{array}\right)$.

Equilibrium Conditions

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Die Bewegung unserer Brücke in durch zwei geometrische Zwangs-Bedingungen behindert:

1. durch das Lager in C:

$W_C=0\text{ bzw. }\delta W_C=0$ sowie

1. durch das Seil über die Umlenkrolle in D:

$W_A=-\sqrt{3}{W}_B\text{ bzw. }\delta W_A=-\sqrt{3}\delta W_B$.

Diese Bedingungen arbeiten wir in die virtuellen Arbeiten des Systems ein und erhalten dann mit den verbleibenden gesuchten Größen

$\underset{\_}{\tilde{Q}}=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Phi }}_A\\ W_B\\ {\mathrm{\Phi }}_B\\ {\mathrm{\Phi }}_C\end{array}\right)$

das Gleichungssystem

${E}{I}\left(\begin{array}{cccc}-\frac{6}{{\ell }_0}& \frac{3^{\frac{7}{2}}+27}{2{\ell }_0^2}& -\frac{3}{{\ell }_0}& 0\\ \frac{3^{\frac{7}{2}}+27}{2{\ell }_0^2}& -\frac{3^{\frac{9}{2}}+486}{{\ell }_0^3}& \frac{3^{\frac{7}{2}}-81}{2{\ell }_0^2}& -\frac{54}{{\ell }_0^2}\\ -\frac{3}{{\ell }_0}& \frac{3^{\frac{7}{2}}-81}{2{\ell }_0^2}& -\frac{18}{{\ell }_0}& -\frac{6}{{\ell }_0}\\ 0& -\frac{54}{{\ell }_0^2}& -\frac{6}{{\ell }_0}& -\frac{17}{{\ell }_0}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Phi }}_A\\ W_B\\ {\mathrm{\Phi }}_B\\ {\mathrm{\Phi }}_C\end{array}\right)=m_{B}g\left(\begin{array}{c}-\frac{{\ell }_0}{27}\\ -\frac{5\sqrt{3}-16}{10\sqrt{3}}\\ \frac{{\ell }_0}{36}\\ \frac{{\ell }_0}{108}\end{array}\right)$.

Geometric Constraints

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Das Lösen des Gleichungssystems liefert dann

$\left(\begin{array}{c}{W}_A\\ {\mathrm{\Phi }}_A\\ W_B\\ {\mathrm{\Phi }}_B\\ W_C\\ {\mathrm{\Phi }}_C\end{array}\right)=\frac{m_{B}g{\ell }_0^3}{3EI}\left(\begin{array}{l}+0.00291\\ +0.01169\frac{1}{{\ell }_0}\\ -0.00168\\ -0.00704\frac{1}{{\ell }_0}\\ +0\\ +0.006198\frac{1}{{\ell }_0}\end{array}\right)$.

Solving

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Und die Ergebnisse können wir uns anschauen ...

... für w(x):

Auslenkung w(x)

Post-Processing

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Kippung der Querschnitte Φ(x)

Moment M(x)

Querkraft Q(x)

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Links

• Aufgabe Kw50 (analytische Lösung dieser Aufgabe)
• Aufgabe Kw52 (Lösung dieser Aufgabe mit dem Ansatz von Rayleigh-Ritz und Lagrange-Multiplikator)
• Aufgabe Kw53 (Lösung dieser Aufgabe mit dem Ansatz von Rayleigh-Ritz)

Literature

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