Gelöste Aufgaben/Kw29

Aufgabenstellung

In einer Sporthalle wird ein Federball (Punktmasse m) mit einer Anfangsgeschwindigkeit v₀ unter einem Winkel α gegenüber der Horizontalen abgeschlagen. Der Strömungswiderstand des Federballs wird mit

$W=\gamma \cdot v^{2}$

angegeben, dabei ist γ eine gemessene Größe.

Lageplan

Schreiben Sie die Bewegungsgleichung des Federballs an. Formulieren Sie die Bewegungsgleichung des Federballs in dimensionsloser Form und berechnen Sie die Lösung numerisch als Anfangswertproblem.

Gegeben: g, m, γ, v₀

Lösung mit Maxima

Header

Lageplan

Die Koordinaten der Bewegung des Federballs sind

• u(t) in horizontale und
• w(t) in vertikale Richtung.

Als Parameter der Bewegung wählen wir:

${\begin{array}{lll}h_{0}&=2\;{\text{m}}&\ldots {\text{ Anfangshöhe}}\\v_{0}&=65\;{\text{km/h}}&\ldots {\text{ Anfangsgeschwindigkeit}}\\\end{array}}$.

/*********************************************************/
/* MAXIMA script                                         */
/* version: wxMaxima 15.08.2                             */
/* author: Andreas Baumgart                              */
/* last updated: 2018-12-02                              */
/* ref: Kw28 (TM-C, Labor 5)                             */
/* description: finds the solution for                   */
/*              the nonlinear IVP                        */
/*********************************************************/

/*********************************************************/

/* declare parameters */
params: [h[0] = 2*m, g = 10*m/s^2, v[0]=65*1000*m/3600/s];

Equilibrium Conditions

Die Bewegungsgleichungen in horizontale und vertikale Richtung sind

${\begin{array}{ll}m\;{\ddot {u}}+W\cdot \cos(\alpha )&=0\\m\;{\ddot {w}}+W\cdot \sin(\alpha )&=-m\,g\end{array}}$.

Dabei ist

${\begin{array}{rl}v&={\sqrt {{\dot {u}}^{2}+{\dot {w}}^{2}}}\\\cos \alpha &=\displaystyle {\frac {\dot {u}}{v}}\\\sin \alpha &=\displaystyle {\frac {\dot {w}}{v}}\end{array}}$.

Als nächstes machen wir die Bewegungsgleichungen dimensionslos mit

• der dimensionslosen Zeit $\displaystyle \tau ={\frac {t}{T}}$ und
• den dimensionslosen Koordinaten $\displaystyle U={\frac {u}{L}}{\text{ bzw. }}W={\frac {w}{L}}$,

dabei sind T = h₀ / v₀ die Bezugszeit und L = h₀' die Bezugslänge.

Die neuen Form der nichtlinearen Bewegungsgleichung ergibt sich dann zu

${\begin{array}{ll}{\frac {{d}^{2}}{d{{\tau }^{2}}}}\cdot U&=-\Gamma \cdot \left({\frac {d}{d\tau }}\cdot U\right)\cdot {\sqrt {{{\left({\frac {d}{d\tau }}\cdot W\right)}^{2}}+{{\left({\frac {d}{d\tau }}\cdot U\right)}^{2}}}},\\{\frac {{d}^{2}}{d\,{{\tau }^{2}}}}\cdot W&=-\Gamma \cdot \left({\frac {d}{d\tau }}\cdot W\right)\cdot {\sqrt {{{\left({\frac {d}{d\tau }}\cdot W\right)}^{2}}+{{\left({\frac {d}{d\tau }}\cdot U\right)}^{2}}}}-G\end{array}}$,

die wir numerisch lösen.

/********************************/
/* define ODE in dim'less coordinates U */
 
/* equlilbrium condition */
 
eom : [m*'diff(u,t,2) = -gamma*v^2*cos(alpha),
       m*'diff(w,t,2) = -gamma*v^2*sin(alpha) - m*g];

dimless: ['diff(u,t,2) = L*'diff(U,tau,2)/T^2,
          'diff(w,t,2) = L*'diff(W,tau,2)/T^2,
          v^2 = v[0]^2*nu^2, g=G*L/T^2, gamma = Gamma*m*L/T^2/v[0]^2,
          nu^2 = 'diff(U,tau)^2+'diff(W,tau)^2,
          sin(alpha) = 'diff(W,tau)/sqrt('diff(U,tau)^2+'diff(W,tau)^2), cos(alpha) = 'diff(U,tau)/sqrt('diff(U,tau)^2+'diff(W,tau)^2)];
eom : expand(subst(dimless,T^2*eom/L/m));

Solving

Für Γ=1/2 und α₀ = 30° lösen wir das Problem numerisch, dazu wählen wir als Anfangsbedingungen

${\begin{array}{ll}U(0)&=0\\W(0)&=1\\{\frac {d}{d\tau }}\left.U\right|_{\tau =0}&=\cos \alpha _{0}\\{\frac {d}{d\tau }}\left.W\right|_{\tau =0}&=\sin \alpha _{0}\end{array}}$.

/********************************/
/* numerical solution of IVP */
numpars: [L = h[0], T=h[0]/v[0], Gamma = 1];
numpars : append(numpars,subst(params,subst(numpars,  subst(params,solve(dimless[4],G)))));

times : subst([t0 = 0, tmax = 20, dt = 0.01],
                    [t, t0, tmax, dt]);
dgl1stOrder : subst(numpars,[VU,VW,rhs(eom[1]),rhs(eom[2])]);
dgl1stOrder : subst(['diff(U,tau,1)=VU, 'diff(W,tau,1)=VW],dgl1stOrder);
stateVabs : [U,W,VU,VW];
initiVals : [0,1,cos(%pi/6),sin(%pi/6)];
 
ivs : rk(dgl1stOrder, stateVabs, initiVals, times)$

tmp

Die Flugbahn des Federballs erhalten durch den Parameter-Plot mit W(τ) über U(τ).

Flugbahn

Post-Processing

Text

/********************************/
/* plot time functions */
/* solution samples */
Ti :  makelist(ivs[j][1],j,1,length(ivs))$
Hi : [makelist(ivs[j][2],j,1,length(ivs)),
      makelist(ivs[j][3],j,1,length(ivs))]$
Vi : [makelist(ivs[j][4],j,1,length(ivs)),
      makelist(ivs[j][5],j,1,length(ivs))]$

/* parametric plot */
plot2d([discrete, Hi[1], Hi[2]],
     [legend, "Flugbahn"], 
     [title, sconcat("start @: ",string(initiVals))],
     [y,0,2],
     [xlabel,"U/L->"], [ylabel,"W/L->"]);

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Links

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Literature

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