Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Integration der Differentialbeziehung (EBB)

Das Randwertproblem eines Euler-Bernoulli-Balkens können wir durch

• Integration der Differentialbeziehung im Feld (der Biege-Differentialgleichung EI w'''' = q) und
• Anpassen der Integrationsbedingungen an die Rand- und Übergangs-Bedingungen an den Knoten

lösen.

Das Integral für w der Feld-Differentialgleichung ist die allgemeine Lösung: das w(x) ist unabhängig von dern Rändern des Feldes aber spezifisch für die Last q(x). Das problem-spezifische w(x) erhalten wir an, indem wir die allgemeine Lösung mit Ihren Integrationskonstanten an die Randbedingungen anpassen.

Aufteilung in Felder und Knoten

Zum Randwertproblem gehören

• die Felder, hier I, II, III, .... X und
• die Knoten des Balkens (die Black-Boxen im Bild), hier A, B, C, D ... Y und Z.

Felder sowie Rand- und Übergangsbedingungen.

Hier sind die Balken - der Einfachheit-halber - in einer Linie hintereinander angeordnet.

Felder

Felder sind Balkenabschnitte zwischen zwei Knoten - als Beispiel hier H und I.

In diesen Bereichen führen wir eine lokale Koordinate x_i ein. Hier gilt für 0 < x_i < l_i eine Lösung der Biege-Differentialgleichung

$(E_i{I}_i{w_i}^{″}(x))=q_i(x)$

und damit meist - wenn wir mit Balken mit konstantem EI arbeiten

$E_i{I}_i{w}^{⁗}(x_i)=q_i(x_i)$.

Koordinaten der Streckenlast q(x).

Diese Differentialgleichung können wir zur Biegelinie w(x) integrieren und erhalten

$E_i\cdot I_i\cdot {\mathrm{w}}_{\mathrm{i}}\left(x_i\right)=\int \int \int \int q_i\left(x_i\right)d{x}_{i}d{x}_{i}d{x}_{i}d{x}_i+\frac{C_{i,3}\cdot x^3}{6}+\frac{C_{i,2}\cdot x^2}{2}+C_{i,1}\cdot x+C_{i,0}$

und dabei immer - je Bereich:

• vier Integrationsvariablen, hier C_i0 ... C_i3 .

Das Problem:

• die Integration der Differentialbeziehung glückt fast nur für Probleme, die im Rahmen des Unterrichts der Technischen Mechanik relevant sind. Praktische Probleme lassen sich so fast nie lösen.

Das liegt nicht daran, dass die Integration von q_i(x_i) scheitert, sondern dass praktische Probleme meist Schalen- oder Volumen-Körper mit komplizierteren Differentialbeziehungen beinhalten oder die Anpassung an die Randbedingungen nicht gelingt.

Knoten

Zwischen zwei Knotenpunkten gilt eine Lösung der Biege-Differentialgleichung. Die Lösung der Biege-Differentialgleichung zweier Bereiche unterscheidet sich durch die Lösung des unbestimmten Integrals

$\int \int \int \int q_{i}d{x}_{i}d{x}_{i}d{x}_{i}d{x}_i$

(falls die q_i unterschiedlich sind) und die Werte der Integrationskonstanten C_ij.

Knotenpunkte sind

• beide Ränder des Balkens,
• Lager und Gelenke,
• Last-Einleitungspunkte für diskrete (punktuelle) Kräfte und Momente sowie
• Unstetigkeiten der Biegesteifigkeit EI oder der Streckenlast q_i(x_i).

An jedem Knotenpunkt x_K = 0 oder x_K = ℓ_i eines Bereichs können wir aus Rand- und Übergangs-Bedingungen Gleichungen für die Anpassung der Integrationskonstanten C_ij der Biegelinie gewinnen. Und es müssen je Bereich vier Gleichungen sein.

Dies sind für einen Knoten K

	Rand- bzw. Übergangs-Bedingungen für ....
❔	Auslenkung wK
❔	Neigung w'K
❔	Schnitt-Moment MK = -EI w''K
❔	Schnitt-Querkraft QK = -EI w'''K

Aus Überlegungen zur Arbeit sind diese Bedingungen bei Lagern und Gelenken miteinander verknüpft. Dabei spielen jeweils die Paare [w_K, Q_K] (Weg*Kraft) sowie [w'_K, M_K] (Drehung*Moment) eine Rolle.

So können wir

• bei Lagern, die w_K = 0 erzwingen, keine Randbedingungen aus dem Kräftegleichgewicht in Richtung von w gewinnen,
• bei Lagern, die w'_K = 0 erzwingen, keine Randbedingungen aus dem Momentengleichgewicht in Drehrichtung von w' gewinnen,
• bei Lagern, die Q_K = 0 erzwingen, keine Randbedingungen für die Auslenkung von w_K gewinnen sowie
• bei Lagern, die M_K = 0 erzwingen, keine Randbedingungen für die Drehung von w'_K gewinnen.

Für jeden Rand-Knoten gewinnen wir zwei, für jeden Übergangs-Knoten vier gewöhnliche Gleichungen.

Dies sind

• geometrische Bedingungen und
• Kraft- / Momenten-Gleichgewichtsbedingungen.

Während wir die geometrischen Bedingungen einfach aus dem Lagertyp "ablesen" können, brauchen wir für die Kraft- / Momenten-Gleichgewichtsbedingungen ein Freikörperbild am Knoten.

Da wir an jedem Knoten eine "linke" und eine "rechte" Seite haben, führen wir als Kennzeichnung

• für die "rechte" Seite ein "+" und
• für die "linke" Seite eine"-"

ein.

Rand-Knoten:

Allgemeines Schnittbild für einen Rand-Knoten	Bsp: Schnittbild für ein gelenkiges Festlager

Für ein gelenkiges Festlager kommen die zwei Gleichungen aus

	Rand-Bedingungen für ....
✔	Auslenkung wK+ = 0
❌	Neigung wK+: keine Bedingung
✔	Schnitt-Moment MK+= 0
❌	Schnitt-Querkraft QK+: keine Bedingung

Übergangs-Knoten

Allgemeines Schnittbild für einen Übergangs-Knoten	Schnittbild für ein Gelenk

Für ein Gelenk kommen die vier Gleichungen aus

	Übergangs-Bedingungen für ....
✔	Auslenkung wK+= wK-
❌	Neigung wK : keine Bedingung
✔ ✔	Schnitt-Moment  MK+= 0 und MK-= 0
✔	Schnitt-Querkraft QK+= QK-

Links

• Lernvideo T6C0