Gelöste Aufgaben/MaMa

Aufgabenstellung

Ein Stab der Länge $3a$ und Biegesteifigkeit $EI$ ist links fest eingespannt und wird bei 2/3 seiner Länger durch ein gelenkiges Lager gestützt. Zwischen dem freien rechten Rand und dem gelenkigen Lager wirkt eine konstante Streckenlast $q_{0}$.

Caption

Gesucht ist die analytische Lösung für den Euler-Bernoulli-Balken und die Verläufe der Schnittgrößen. Im Vordergrund der Ausarbeitung steht das Zusammenspiel von Maxima (Computeralgebra) und Matlab (Numerik) zum Aufstellen, Verwalten und Lösen des linearen Gleichungssystems.

Die Aufgabe ist einfach genug, um sie analytisch mit Maxima allein zu lösen. Hier geht es aber darum, die "Zusammenarbeit" zwischen den beiden Software-Paketen exemplarisch vorzustellen. Dieses Zusammenspiel wird dann interessant, wenn die Anzahl der Gleichungen groß wird - typischer weise > 50. Dann ist eine algebraische Lösung oft nicht mehr möglich. Maxima eignet sich dann hervorragend für das Aufstellen und Verwalten der Gleichungen. Die konsolidierten Gleichungen werden dann zur numerischen Lösung an Matlab übergeben. Wie das geht, zeigen wir im Folgenden.

Lösung mit Maxima und Matlab

Im folgenden finden Sie die Skripte für Maxima und Matlab, mit denen diese Aufgabe bearbeitet wurde.

Declarations

Für Bereich $I$ führen wir die unabhängige Koordinate $x_{I}$ ein, für Bereich $II$ die Koordinate $x_{II}$. Die zwei Bereich haben die Längen

• $\ell _{I}$ und
• $\ell _{I}I$.

Um die gesuchte Lösung dimensionslos ansetzten zu können, wählen wir eine Vergleichslösung. Hier bietet sich der Kragbalken unter Streckenlast an. Diese liefert für die maximale Auslenkung von $w(x)$ und die maximlae Kippung der Querschnitte von $\phi (x)$

• $w_{ref}={\frac {q_{0}a^{4}}{8EI}}$ und
• $\varphi _{ref}={\frac {q_{0}a^{3}}{6EI}}$

Außerdem wählen wir

• $M_{ref}={\frac {q_{0}a^{2}}{2}}$ und
• $Q_{ref}=q_{0}a$

Boundary Value Problem

Das Randwertproblem wird im Feld von der Euler-Bernoulli-Differentialgleichung des Balkens beschreiben und an den Rändern durch kinematische oder Kraft-Randbedingungen. ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$

Differentialgleichung des Euler-Bernoulli-Balkens

$EIw^{IV}=q_{0}$

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1+1

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