Einheits-Quaternionen sind ein probates Werkzeug, um die räumliche Orientierung von Körpern zu beschreiben und räumliche Drehungen durchzuführen.
3D visualization einer Rotation bzgl. der Euler-Axe
r
→
{\displaystyle \displaystyle {\vec {r}}}
Dabei wird die Rotation durch einen Drehwinkel ϕ um eine Rotationsachse
r
→
=
r
x
e
→
x
+
r
y
e
→
y
+
r
z
e
→
z
{\displaystyle \displaystyle {\vec {r}}=r_{x}{\vec {e}}_{x}+r_{y}{\vec {e}}_{y}+r_{z}{\vec {e}}_{z}}
beschreiben.
Bei Einheits-Quaternionen gilt
r
x
2
+
r
y
2
+
r
z
2
=
1
{\displaystyle \displaystyle {\sqrt {r_{x}^{2}+r_{y}^{2}+r_{z}^{2}}}=1}
Die Rotation wird dann durch das [Quadruple ]
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \displaystyle \underline{q} = \left\[\cos\varphi, r_x\cdot\sin\varphi, r_y\cdot\sin\varphi, r_z\cdot\sin\varphi \right\]}
erfasst.
Die Transformationsmatrix können wir dann durch
D
_
_
Q
(
q
_
(
t
)
)
=
(
1
−
2
(
q
3
(
t
)
2
+
q
2
(
t
)
2
)
2
(
q
1
(
t
)
q
2
(
t
)
−
q
0
(
t
)
q
3
(
t
)
)
2
(
q
1
(
t
)
q
3
(
t
)
+
q
0
(
t
)
q
2
(
t
)
)
2
(
q
0
(
t
)
q
3
(
t
)
+
q
1
(
t
)
q
2
(
t
)
)
1
−
2
(
q
3
(
t
)
2
+
q
1
(
t
)
2
)
2
(
q
2
(
t
)
q
3
(
t
)
−
q
0
(
t
)
q
1
(
t
)
)
2
(
q
1
(
t
)
q
3
(
t
)
−
q
0
(
t
)
q
2
(
t
)
)
2
(
q
2
(
t
)
q
3
(
t
)
+
q
0
(
t
)
q
1
(
t
)
)
1
−
2
(
q
2
(
t
)
2
+
q
1
(
t
)
2
)
)
{\displaystyle {\underline {\underline {D}}}_{Q}({\underline {q}}(t))={\begin{pmatrix}1-2\left({{{q_{3}}(t)}^{2}}+{{{q_{2}}(t)}^{2}}\right)&2\left({q_{1}}(t){q_{2}}(t)-{q_{0}}(t){q_{3}}(t)\right)&2\left({q_{1}}(t){q_{3}}(t)+{q_{0}}(t){q_{2}}(t)\right)\\2\left({q_{0}}(t){q_{3}}(t)+{q_{1}}(t){q_{2}}(t)\right)&1-2\left({{{q_{3}}(t)}^{2}}+{{{q_{1}}(t)}^{2}}\right)&2\left({q_{2}}(t){q_{3}}(t)-{q_{0}}(t){q_{1}}(t)\right)\\2\left({q_{1}}(t){q_{3}}(t)-{q_{0}}(t){q_{2}}(t)\right)&2\left({q_{2}}(t){q_{3}}(t)+{q_{0}}(t){q_{1}}(t)\right)&1-2\left({{{q_{2}}(t)}^{2}}+{{{q_{1}}(t)}^{2}}\right)\end{pmatrix}}}
abgebildet.
