Sources/Lexikon/Variationsmethoden

$\displaystyle \delta \Pi :=\left.{\frac {d}{d\varepsilon }}\right\vert _{\displaystyle \varepsilon =0}\Pi (u+\varepsilon \;\delta u)$

Die Definition sagt: wir erhalten die Variation der Formänderungsenergie,eines Körpers, indem wir dessen Verschiebungszustand u um ein ε ∙ δu mit ε≪1 variieren und dann den Gradienten nach ε für ε=0 ermitteln.

Für eine linear-elastische Feder der Steifigkeit k, die um u gelängt wird, ist

$\displaystyle \Pi ={\frac {1}{2}}k\cdot u^{2}$

Dann finden wir

${\begin{array}{cl}\delta \Pi &=\left[\,k\left(u+\varepsilon \cdot \delta u\right)\cdot \delta u\right]|_{\varepsilon =0}\\&=k\;u\;\delta u\end{array}}$

Bei Koordinaten, die wie in Aufgabe Kw24 über Zwangsbedingungen der Form

$w(t)=f(\varphi (t))$

gekoppelt sind, müssen wir oft die Variation nach den Minimalkoordinate - hier φ - durchführen. Das geschieht - so wie oben durch

$\displaystyle \delta w:=\left.{\frac {d}{d\varepsilon }}\right\vert _{\displaystyle \varepsilon =0}f(\varphi +\varepsilon \;\delta \varphi )$.