Sources/Lexikon/Spannungs-Dehnungs-Beziehung (Stress-Strain-Relation)

Der Zusammenhang zwischen Dehnung un Spannung für isotropes, linear-elastisches Werkstoffverhalten wird durch

$\underset{\_}{\sigma }=\underset{\_}{\underset{\_}{E}}\cdot \underset{\_}{\epsilon }$

beschrieben. In Komponenten-Schreibweise ist dies

$\left[\begin{array}{c}{\sigma }_{xx}\\ {\sigma }_{yy}\\ {\sigma }_{zz}\\ {\sigma }_{yz}\\ {\sigma }_{xz}\\ {\sigma }_{xy}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}2\mu +\lambda & \lambda & \lambda & 0& 0& 0\\ \lambda & 2\mu +\lambda & \lambda & 0& 0& 0\\ \lambda & \lambda & 2\mu +\lambda & 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 2\mu & 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 2\mu & 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 2\mu \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\epsilon }_{xx}\\ {\epsilon }_{yy}\\ {\epsilon }_{zz}\\ {\epsilon }_{yz}\\ {\epsilon }_{xz}\\ {\epsilon }_{xy}\end{array}\right]$,

wobei λ und μ die Lamé'schen Konstanten sind und zum Elastizitäts-Modul E und der Querkontraktion ν folgende Beziehung haben:

$\begin{array}{l}\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}\\ \mu =\frac{E}{2(1+\nu )}\end{array}$

Allgemeines Werkstoffgesetzt (3D)

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Alle anderen Werkstoff-Gesetze lassen sich daraus ableiten, z.B. für den ebenen Spannungszustand mit

${\sigma }_{zz}=0,{\sigma }_{xz}=0,{\sigma }_{yz}=0$

erhalten wir

${\sigma }_{{x}{x}}=\frac{2\lambda \mu {ϵ}_{{y}{y}}+(4{\mu }^2+4\lambda \mu ){ϵ}_{{x}{x}}}{2\mu +\lambda },{\sigma }_{{y}{y}}=\frac{(4{\mu }^2+4\lambda \mu ){ϵ}_{{y}{y}}+2\lambda \mu {ϵ}_{{x}{x}}}{2\mu +\lambda },{\sigma }_{{x}{y}}=2\mu {ϵ}_{{x}{y}},{ϵ}_{{z}{z}}=-\frac{\lambda {ϵ}_{{y}{y}}+\lambda {ϵ}_{{x}{x}}}{2\mu +\lambda },{ϵ}_{{y}{z}}=0,{ϵ}_{{x}{z}}=0$

In Matrixschreibweise erhalten wir

$\left(\begin{array}{c}{\sigma }_{xx}\\ {\sigma }_{yy}\\ {\sigma }_{xy}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{4{\mu }^2+4\lambda \mu }{2\mu +\lambda }& \frac{2\lambda \mu }{2\mu +\lambda }& 0\\ \frac{2\lambda \mu }{2\mu +\lambda }& \frac{4{\mu }^2+4\lambda \mu }{2\mu +\lambda }& 0\\ 0& 0& 2\mu \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{\epsilon }_{xx}\\ {\epsilon }_{yy}\\ {\epsilon }_{xy}\end{array}\right)$

bzw mit E und ν

$\left(\begin{array}{c}{\sigma }_{xx}\\ {\sigma }_{yy}\\ {\sigma }_{xy}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{E}{1-{\nu }^2}& \frac{E\nu }{1-{\nu }^2}& 0\\ \frac{E\nu }{1-{\nu }^2}& \frac{E}{1-{\nu }^2}& 0\\ 0& 0& \frac{E}{\nu +1}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{\epsilon }_{xx}\\ {\epsilon }_{yy}\\ {\epsilon }_{xy}\end{array}\right)$.

Ebener Spannugnszustand

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Ganz entsprechend erhalten wir für

${\sigma }_{yy}=0,{\sigma }_{zz}=0,{\sigma }_{xz}=0,{\sigma }_{yz}=0,{\sigma }_{xy}=0$

die Ergebnisse

${\sigma }_{{x}{x}}=\frac{(2{\mu }^2+3\lambda \mu ){ϵ}_{{x}{x}}}{\mu +\lambda },{ϵ}_{{y}{y}}=-\frac{\lambda {ϵ}_{{x}{x}}}{2\mu +2\lambda },{ϵ}_{{z}{z}}=-\frac{\lambda {ϵ}_{{x}{x}}}{2\mu +2\lambda },{ϵ}_{{y}{z}}=0,{ϵ}_{{x}{z}}=0,{ϵ}_{{x}{y}}=0$

bzw.

${\sigma }_{{x}{x}}=E{ϵ}_{{x}{x}},{ϵ}_{{y}{y}}=-\nu {ϵ}_{{x}{x}},{ϵ}_{{z}{z}}=-\nu {ϵ}_{{x}{x}},{ϵ}_{{y}{z}}=0,{ϵ}_{{x}{z}}=0,{ϵ}_{{x}{y}}=0$

Eindimensionaler Spannungszustand

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