Sources/Anleitungen/FEM-Formulierung für den Euler-Bernoulli-Balken

Diese Seite fasst die wichtigsten Ergebnisse für die FEM-Formulierung zum Euler-Bernoulli-Balken zusammen.

Maxima-Code für die Element-Matrizen

Hier finden Sie den Sourcecode für die Herleitung der Element-Matrizen.

/*Maxima Quellcode für die Erzeugung Inhalte dieser Seite */
/* Maxima version 16.04.2*/

declare( "ℓ", alphabetic);

/*Trial-Fucntions*/
phi : [       (xi-1)^2*(2*xi+1),
         ℓ[i]* xi     *(  xi-1)^2,
        -      xi^2   *(2*xi-3), 
         ℓ[i]* xi^2   *(  xi-1)];

/* depict independant and dependant coordinates */
preamble: "set yrange [] reverse";
plot2d(subst([ℓ[i]=1],[0.9,1/2,0.1,1/3].phi),[xi,0,1],
    [x,0,1], [legend, "w(x)"],
    [xlabel, "ξ →"], [ylabel, "← w"],
    [gnuplot_preamble, preamble]);

/* plot trial-functions parameters */
scale: [1,1/ℓ[i],1,1/ℓ[i]];
colours: [blue, red, green, magenta];
legends: ["ϕ1","ϕ2/ℓ[i]","ϕ3","ϕ4/ℓ[i]"];
for j:1 thru 4 do
     (plot2d(scale[j]*phi[j],[xi,0,1], [xlabel,"ξ →"],[ylabel,"ϕ →"], [legend,legends[j]],[color,colours[j]], [style, [lines,3]], same_xy,
              [gnuplot_preamble, "set xtics 1;set ytics 1;set tics font \",11\""]))$	

/* Element-Mass Matrix */
M[i] : funmake('matrix,makelist(makelist(rho*A*integrate(phi[j]*phi[k],xi,0,1)*ℓ[i],j,1,4),k,1,4));
/*       (rho*A*ℓ[i])*matrix([13/35,(11*ℓ[i])/210,9/70,-(13*ℓ[i])/420],
                             [(11*ℓ[i])/210,ℓ[i]^2/105,(13*ℓ[i])/420,-ℓ[i]^2/140],
                             [9/70,(13*ℓ[i])/420,13/35,-(11*ℓ[i])/210],
                             [-(13*ℓ[i])/420,-ℓ[i]^2/140,-(11*ℓ[i])/210,ℓ[i]^2/105])  */
/* Element-Striffness Matrix */
K[i] : funmake('matrix,makelist(makelist(EI*integrate(diff(phi[j],xi,2)/ℓ[i]^2*diff(phi[k],xi,2)/ℓ[i]^2,xi,0,1)*ℓ[i],j,1,4),k,1,4));
/*       (EI/ℓ[i]^3)*matrix([12,6*ℓ[i],-12,6*ℓ[i]],
                            [6*ℓ[i],4*ℓ[i]^2,-6*ℓ[i],2*ℓ[i]^2],
                            [-12,-6*ℓ[i],12,-6*ℓ[i]],
                            [6*ℓ[i],2*ℓ[i]^2,-6*ℓ[i],4*ℓ[i]^2])   */

Trial-Functions

Die Koordinaten eines Finiten Elements sind

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{Q}(t) = \left(\begin{array}{l}W_{i-1}(t)\\\Phi_{i-1}(t)\\W_{i}(t)\\\Phi_{i}(t)\end{array}\right)} .

Der Ansatz für die Näherung der Auslenkung w(x,t) ist

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle w(x,t) = \sum_{i=1}^4 Q_i(t) \cdot \phi_i(x)}

Die Drehwinkel sind hier so gewählt, dass 

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle \frac{d}{dx} w(x)|_{x=x_i} = \Phi_i} .

Nodal and independent Coordinates

Trialfunctions

Die einzelnen Trial-Functions sind:

linker Rand (Knoten "i-1")	rechter Rand (Knoten "i")
Trial-Function for Wi-1	Trial-Function for Wi
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi_1(\xi) = (\xi-1)^2 \cdot (2\;\xi+1)}	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi_3(\xi) = \xi^2 \cdot (3-2\;\xi)}
Trial-Function für Φi-1	Trial-Function für Φi
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi_2(\xi) = \ell_i \cdot \xi \cdot (\xi-1)^2}	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi_4(\xi) = \ell_i \cdot \xi^2 \cdot (\xi-1)}

Faltungsintegrale

... für die symmetrische Massenmatrix

Tabelliert sind die Werte der Integrale

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle \frac{m_{ij}}{\varrho A} = \int_0^\ell \phi_i \cdot \phi_j \; dx}

	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi_1}	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi_2}	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi_3}	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi_4}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi_1}	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle \frac{13}{35}\;\ell_i }	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle \frac{11}{210}\;\ell_i^2}	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle \frac{9}{70}\;\ell_i}	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle -\frac{13}{420}\;\ell_i^2 }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi_2}		Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle \frac{1}{105}\;\ell_i^3}	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle \frac{13}{420}\;\ell_i^2 }	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle -\frac{1}{140}\;\ell_i^4}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi_3}			Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle \frac{13}{35}\;\ell_i }	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle \frac{11}{210}\;\ell_i^2 }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi_4}	symm.			Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle \frac{1}{105}\;\ell_i^3}

... für die symmetrische Steifigkeitsmatrix

Tabelliert sind die Werte der Integrale

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle \frac{k_{ij}}{EI} = \int_0^\ell \phi_i'' \cdot \phi_j'' \; dx}

	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi''_1}	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi''_2}	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi''_3}	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi''_4}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi''_1}	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle \frac{12}{\ell_i^3}}	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle \frac{6}{\ell_i^2}}	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle -\frac{12}{\ell_i^3}}	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle \frac{6}{\ell_i^2} }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi''_2}		Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle \frac{4}{\ell_i}}	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle -\frac{6}{\ell_i^2} }	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle \frac{2}{\ell_i}}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi''_3}			Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle \frac{12}{\ell_i^3}}	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle -\frac{6}{\ell_i^2} }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi''_4}	symm.			Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle \frac{4}{\ell_i} }

Maxima-Code für die Rechte-Seite

Hier finden Sie den Sourcecode für die Herleitung der Spalten-Matrizen der Rechten-Seite des Gleichungssystems.

/*Loadiung-Fucntions*/
psi: [1,
      (1-xi),
      xi,
      4*(-xi^2+xi)];

for j:1 thru length(psi) do
   plot2d(psi[j],[xi,0,1], [y,-0.1,1.1],
      [box, false], grid2d,
      [yx_ratio, 1], [axes, solid], [xtics, 0, 1, 1],
      [ytics, 0, 1, 1],
      [ylabel, simplode (["ϕ[",j,"] →"])],
      [xlabel, "ξ →"],
      [style,[lines,3,2]])$

/* convolution integrals */
for i:1 thru length(phi) do
   (print("***************************", i),
    for j:1 thru length(psi) do 
       print(integrate(phi[i]*psi[j],xi,0,1)))$

... für die rechte Seite des Gleichungssystems - aus äußeren, einprägten Lasten wie z.B. Streckenlasten q₀∙ψ

Die virutelle Arbeit dieser äußeren Streckenlast ist

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle \delta W^a = q_0 \int_0^\ell \psi(x)\cdot \delta w(x) \;\,dx}

                       Hier stehen die Faltungsintegrale beispielhaft für 

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{l}\psi_1 = 1\\\psi_2=1-\xi\\\psi_3=\xi\\\psi_4=4\cdot \left( \xi-{{\xi}^{2}}\right) \end{array}}

Werte von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle \int_0^1 \phi_i\cdot \psi_j \; d\xi}	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi''_1}	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi''_2}	$\phi ''_{3}$	$\phi ''_{4}$
$\psi ''_{1}$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
$\psi ''_{2}$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
$\psi ''_{3}$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
$\psi ''_{4}$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$

Virtuelle Arbeiten

... der D'Alembert'sche Trägheitskräfte eines Finiten Elements

ist

$\delta W^{a}=\displaystyle \int _{\displaystyle \ell _{i}}\varrho \;A\;{\ddot {w}}_{i}\cdot \delta w_{i}\;dx_{i}$

ist

$\delta W_{i}^{a}=-\left({{\mathit {\delta W}}_{i-1}},{{\mathit {\delta \Phi }}_{i-1}},{{\mathit {\delta W}}_{i}},{{\mathit {\delta \Phi }}_{i}}\right)\cdot \displaystyle {\mathit {\varrho A\ell _{i}}}\cdot {\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {13}{35}}&\displaystyle {\frac {11{\ell _{i}}}{210}}&\displaystyle {\frac {9}{70}}&\displaystyle -{\frac {13{\ell _{i}}}{420}}\\\displaystyle {\frac {11{\ell _{i}}}{210}}&\displaystyle {\frac {\ell _{i}^{2}}{105}}&\displaystyle {\frac {13{\ell _{i}}}{420}}&\displaystyle -{\frac {\ell _{i}^{2}}{140}}\\\displaystyle {\frac {9}{70}}&\displaystyle {\frac {13{\ell _{i}}}{420}}&\displaystyle {\frac {13}{35}}&\displaystyle -{\frac {11{\ell _{i}}}{210}}\\\displaystyle -{\frac {13{\ell _{i}}}{420}}&\displaystyle -{\frac {\ell _{i}^{2}}{140}}&\displaystyle -{\frac {11{\ell _{i}}}{210}}&\displaystyle {\frac {\ell _{i}^{2}}{105}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{{\ddot {W}}_{i-1}}\\{{\ddot {\Phi }}_{i-1}}\\{{\ddot {W}}_{i}}\\{{\ddot {\Phi }}_{i}}\end{pmatrix}}$

... der Formänderungsenergie eines Finiten Elements

ist                .

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Links

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Literature

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